Hamiltonian

Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych^[1], opisująca układ fizyczny w sformułowaniu Hamiltona teorii fizycznych^[2]

${\displaystyle H=H\left(q_{1},\dots ,q_{N},p_{1},\dots ,p_{N},t\right),}$

gdzieː

${\displaystyle q_{j}}$ – współrzędne uogólnione,

${\displaystyle p_{j}}$ – pędy uogólnione (zdefiniowano je niżej),

${\displaystyle N}$ – liczba stopni swobody,

${\displaystyle t}$ – czas.

Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania równań Hamiltona i równanie Hamiltona-Jacobiego.

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.

W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.

Metody otrzymywania funkcji Hamiltona

Funkcję Hamiltona otrzymuje się,

• z wyrażenia na energię całkowitą układu,
• z funkcji Lagrange’a (za pomocą tzw. transformacji Legendre’a),

przy czym należy zastępując prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange’a za pomocą pędów.

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układu

Funkcję Hamiltona można otrzymać znając wzór na energię całkowitą układu, przy czym prędkości wyraża się za pomocą pędów.

Punkt materialny

(1) Jeżeli cząstka o masie ${\displaystyle m}$ porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale ${\displaystyle V,}$ to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci

${\displaystyle E={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+V(\mathbf {q} ).}$

Ponieważ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {p} }{m}},}$ to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2\,m}}+V(\mathbf {q} ).}$

(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać

${\displaystyle E={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}.}$

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}.}$

Oscylator harmoniczny

Energia całkowita oscylatora harmonicznego poruszającego się w kierunku ${\displaystyle x}$ ma postać

${\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {m}{2}}\omega _{0}^{2}x^{2}.}$

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

${\displaystyle {\mathcal {H}}(x,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m}{2}}\omega _{0}^{2}x^{2}.}$

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a

Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange’a

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(q_{1},\dots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{N},t),}$

gdzie:

${\displaystyle q_{j}}$ – współrzędna uogólniona,

${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$ – prędkość uogólniona,

${\displaystyle t}$ – czas.

Dla każdej prędkości uogólnionej ${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$ wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony ${\displaystyle p_{j}}$(tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości uogólnionej ${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$

${\displaystyle p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}.}$

Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange’a za pomocą tzw. transformacji Legendre’a

${\displaystyle H\left(q_{1},...,q_{N},p_{1},...,p_{N},t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{1},\dots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{N},t),}$

przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Przykłady pędów uogólnionych

• W przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione są zwykłymi pędami.
• We współrzędnych walcowych jako jedną ze współrzędnych uogólnionych cząstki przyjmuje się kąt; wtedy prędkość uogólniona jest prędkością kątową, a pęd uogólniony – obliczany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości kątowej – okazuje się być momentem pędu cząstki.
• W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie mieć prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

Przypisy

Bibliografia

• W. Królikowski, W. Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.
• L.D.L.D. Landau L.D.L.D., E.M.E.M. Lifszyc E.M.E.M., Mechanika, Warszawa: PWN, 2011 .

Mechanika kwantowa

• Wprowadzenie
• Aparat matematyczny
• Równanie Schrödingera

Tło	Mechanika klasyczna Mechanika kwantowa Ciało doskonale czarne Wczesna teoria kwantowa Interferencja Notacja Diraca Hamiltonian
Koncepcje podstawowe	Funkcja falowa Stan kwantowy Stan podstawowy Stan stacjonarny Równanie własne Cząstka w pudle potencjału Cząstki identyczne Kwantowy oscylator harmoniczny Spin Superpozycja Liczby kwantowe Splątanie kwantowe Pomiar Nieoznaczoność Reguła Pauliego Dualizm korpuskularno-falowy Dekoherencja kwantowa Twierdzenie Ehrenfesta Tunelowanie
Doświadczenia	Doświadczenie Younga Doświadczenie Davissona i Germera Doświadczenie Francka-Hertza Doświadczenie Sterna-Gerlacha Eksperymenty testujące twierdzenie Bella Doświadczenie Poppera Kot Schrödingera Problem testowania bomb Elitzura-Vaidmana Gumka kwantowa
Sformułowania	Obraz Schrödingera Obraz Heisenberga Obraz Diraca Mechanika macierzowa Suma po historiach
Równania	Równanie Schrödingera Równanie Pauliego Równanie Kleina-Gordona Równanie Diraca Wzór Rydberga
Interpretacje	de Broglie'a-Bohma Świadomość wywołuje kolaps Spójne historie kwantowe Kopenhaska Statystyczna Zmiennych ukrytych Wielu światów Logika kwantowa Obiektywnego zalamania Prawdopodobieństwo kwantowe Relacyjna Stochastyczna Transakcjonalna
Zagadnienia zaawansowane	Informatyka kwantowa Teoria rozpraszania Kwantowa teoria pola Operatory kreacji i anihilacji Chaos kwantowy
Znani uczeni	Planck Bohr Sommerfeld Bose Kramers Heisenberg Born Jordan Pauli Dirac de Broglie Schrödinger von Neumann Wigner Feynman Candlin Bohm Everett Bell Wien

(c) Voyajer z angielskojęzycznej Wikipedii, CC-BY-SA-3.0

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$