Hiperbola (matematyka)

Hiperbole sprzężone

Hiperbola (stgr. ὑπερβολή hyperbolḗ „przerzucenie; przesada”^[1][2]) – krzywa będąca zbiorem takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch ustalonych punktów – nazywanych ogniskami hiperboli – jest stała^[3].

Hiperbola jest zarazem krzywą stożkową, dla której kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą.

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne ${\displaystyle (-c,0)}$ i ${\displaystyle (c,0),}$ to można ją opisać równaniem:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast ${\displaystyle b}$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}.}$

Jeżeli ${\displaystyle a=b,}$ to hiperbola nazywana jest równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi:

${\displaystyle e={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}}>1.}$

Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami

${\displaystyle x=\pm {\frac {a}{e}}=\pm {\frac {a^{2}}{c}}.}$

Obierając na hiperboli dowolny punkt ${\displaystyle P=(x,y),}$ przez ${\displaystyle r_{1}}$ oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez ${\displaystyle r_{2}}$ odległość pomiędzy punktem ${\displaystyle P}$ a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

• dla prawej gałęzi: ${\displaystyle r_{1}=a+ex,\ \ r_{2}=-a+ex,}$
• dla lewej gałęzi: ${\displaystyle r_{1}=-a-ex,\ \ r_{2}=a-ex.}$

Niech ${\displaystyle d_{1}}$ będzie odległością ustalonego punktu ${\displaystyle P}$ od lewej kierownicy, a ${\displaystyle d_{2},}$ odpowiednio – od prawej. Wówczas:

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{d_{1}}}={\frac {r_{2}}{d_{2}}}=e.}$

Hiperbolę o równianiu

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

nazywa się hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x.}$

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie ${\displaystyle Q=(p,q)}$ hiperboli spełnia równanie

${\displaystyle {\frac {px}{a^{2}}}-{\frac {qy}{b^{2}}}=1.}$

Zobacz też

• radionawigacja
• twierdzenie Pascala

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hyperbola, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).