Hipersfera

Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym
Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej

Hipersfera – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Definicja formalna

Dla dowolnej liczby naturalnej hipersfera o promieniu jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej, które znajdują się w odległości od wybranego punktu środkowego gdzie jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni -wymiarowej[1].

Jest to n-wymiarowa rozmaitość w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej[1]. W szczególności:

  • hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka[2],
  • hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie[3],
  • hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej, powierzchnia klasycznej kuli[4],
  • hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy sferą jednostkową, oznaczaną [5]. Sfera n-wymiarowa stanowi brzeg kuli -wymiarowej. Dla hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

Współrzędne

Zbiór punktów w przestrzeni -wymiarowej który tworzy hipersferę opisuje równanie

gdzie:

– punkt środkowy,
– promień.

Hiperkula

Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy -wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta, jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta, jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

  • hiperkula 1-wymiarowa to odcinek,
  • hiperkula 2-wymiarowa to koło,
  • hiperkula 3-wymiarowa to kula.

Rozmiar

Objętość wnętrza

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę -wymiarową o promieniu który jest hiperkulą -wymiarową, ma postać:

gdzie jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

w którym to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych

[6]

i nieparzystych

[6]
Zestawienie wartości współczynników
Wymiar
n
Współczynnik
Dziesiętne
przybliżenie
Klasyczna
interpretacja
01,00000punkt
12,00000długość odcinka
23,14159pole koła
34,18879objętość kuli
44,93480 
55,26379 
65,16771 
74,72478 
84,05871 

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności

Powierzchnia

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery -wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli -wymiarowej względem promienia[7]

gdzie podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

Zestawienie wartości współczynników
Wymiar
n-1
Współczynnik
Dziesiętne
przybliżenie
Klasyczna
interpretacja
–1 0,00000
0 2,00000liczba punktów tworzących sferę
1 6,28318długość okręgu
212,56637powierzchnia kuli
319,73920
426,31894
531,00627
633,07336
732,46969

Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

Wymiary ułamkowe

Wzory na i można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli gdy nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Obszar w przestrzeni -wymiarowej jako funkcja ciągła
Powierzchnia jednostkowej sfery -wymiarowej
Objętość jednostkowej kuli -wymiarowej

Współrzędne hipersferyczne

Analogicznie do współrzędnych sferycznych w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni -wymiarowej, w których składowymi są promień i współrzędnych kątowych gdzie zawiera się w przedziale a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale

Jeśli przez oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

  • Karol Gryszka, Anomalie kul i kostek, „Delta”, październik 2018 [dostęp 2018-11-25].
  • Zachary Treisman, A young person's guide to the Hopf fibration, „arXiv”, 9 sierpnia 2009, arXiv:0908.1205.


Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

Ball volume in n dimensions.svg
The volume of a unit ball in x dimensions, as a function of x.
Hypersphere.png
Autor: "Eugene Antipov", Licencja: CC-BY-SA-3.0
"2D-projection of 3D-projection of Hypersphere of 4D-space"
Sphere wireframe.svg
Autor: Geek3, Licencja: CC BY-SA 3.0
Sphere wireframe - orthogonal projection of a sphere. The image shows lines, which are drawn as they were painted onto the surface of a sphere. The angular distance between two lines is 10°. The SVG file is created by the below C++-program, which calculates each edge of a line as an ellipse-bow. The backside of the sphere has an opacity of 0.25. The axis tilt is 52.5°.
Sphere area in n dimensions.svg
A graph of the surface area of a unit sphere in x dimensions, as a function of a x.