Hipersfera
Hipersfera – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.
Definicja formalna
Dla dowolnej liczby naturalnej hipersfera o promieniu jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej, które znajdują się w odległości od wybranego punktu środkowego gdzie jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni -wymiarowej[1].
Jest to n-wymiarowa rozmaitość w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej[1]. W szczególności:
- hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka[2],
- hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie[3],
- hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej, powierzchnia klasycznej kuli[4],
- hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy sferą jednostkową, oznaczaną [5]. Sfera n-wymiarowa stanowi brzeg kuli -wymiarowej. Dla hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.
Współrzędne
Zbiór punktów w przestrzeni -wymiarowej który tworzy hipersferę opisuje równanie
gdzie:
- – punkt środkowy,
- – promień.
Hiperkula
Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy -wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta, jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta, jeśli jej nie zawiera. W szczególności:
Rozmiar
Objętość wnętrza
Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę -wymiarową o promieniu który jest hiperkulą -wymiarową, ma postać:
gdzie jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi
w którym to funkcja Γ.
Wzór na współczynnik upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych
i nieparzystych
Wymiar n | Współczynnik | Dziesiętne przybliżenie | Klasyczna interpretacja |
---|---|---|---|
0 | 1,00000 | punkt | |
1 | 2,00000 | długość odcinka | |
2 | 3,14159 | pole koła | |
3 | 4,18879 | objętość kuli | |
4 | 4,93480 | ||
5 | 5,26379 | ||
6 | 5,16771 | ||
7 | 4,72478 | ||
8 | 4,05871 |
Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności
Powierzchnia
Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery -wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli -wymiarowej względem promienia[7]
gdzie podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi
Wymiar n-1 | Współczynnik | Dziesiętne przybliżenie | Klasyczna interpretacja |
---|---|---|---|
–1 | 0,00000 | ||
0 | 2,00000 | liczba punktów tworzących sferę | |
1 | 6,28318 | długość okręgu | |
2 | 12,56637 | powierzchnia kuli | |
3 | 19,73920 | ||
4 | 26,31894 | ||
5 | 31,00627 | ||
6 | 33,07336 | ||
7 | 32,46969 |
Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności
Wymiary ułamkowe
Wzory na i można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli gdy nie jest dodatnią liczbą całkowitą.
Współrzędne hipersferyczne
Analogicznie do współrzędnych sferycznych w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni -wymiarowej, w których składowymi są promień i współrzędnych kątowych gdzie zawiera się w przedziale a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale
Jeśli przez oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:
Zobacz też
Przypisy
- ↑ a b Gryszka 2018 ↓, s. 9.
- ↑ Treisman 2009 ↓, s. 11.
- ↑ Treisman 2009 ↓, s. 12.
- ↑ Treisman 2009 ↓, s. 14.
- ↑ Treisman 2009 ↓, s. 10.
- ↑ a b Gryszka 2018 ↓, s. 10.
- ↑ Gryszka 2018 ↓, s. 11.
Bibliografia
- Karol Gryszka , Anomalie kul i kostek, „Delta”, październik 2018 [dostęp 2018-11-25] .
- Zachary Treisman , A young person's guide to the Hopf fibration, „arXiv”, 9 sierpnia 2009, arXiv:0908.1205 .
Linki zewnętrzne
- Exploring Hyperspace with the Geometric Product (ang.)
- Eric W. Weisstein , Hypersphere, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.).
Media użyte na tej stronie
The volume of a unit ball in x dimensions, as a function of x.
Autor: "Eugene Antipov", Licencja: CC-BY-SA-3.0
"2D-projection of 3D-projection of Hypersphere of 4D-space"
Autor: Geek3, Licencja: CC BY-SA 3.0
Sphere wireframe - orthogonal projection of a sphere. The image shows lines, which are drawn as they were painted onto the surface of a sphere. The angular distance between two lines is 10°. The SVG file is created by the below C++-program, which calculates each edge of a line as an ellipse-bow. The backside of the sphere has an opacity of 0.25. The axis tilt is 52.5°.
A graph of the surface area of a unit sphere in x dimensions, as a function of a x.