Hipoteza Pólyi

Hipoteza Pólyi – matematyczna hipoteza, mówiąca że dla dowolnej liczby naturalnej ${\displaystyle n>1,}$ co najmniej 50% liczb naturalnych mniejszych od ${\displaystyle n}$ ma nieparzystą liczbę czynników pierwszych. Hipotezę tę postawił w 1919 roku węgierski matematyk George Pólya. W 1958 roku wykazano, że jest to nieprawdą.

Hipoteza

Suma wartości funkcji Liouville’a do ${\displaystyle n=10^{4}}$

Suma wartości funkcji Liouville’a do ${\displaystyle n=10^{7}}$

Hipoteza Pólyi mówi, że jeżeli dla dowolnego ${\displaystyle n>1}$ podzielimy liczby naturalne mniejsze od ${\displaystyle n}$ na dwie grupy, w zależności od tego, czy dana liczba ma parzystą, czy nieparzystą liczbę czynników pierwszych, to w pierwszej grupie nigdy nie będzie więcej liczb niż w drugiej. Powtórzone czynniki pierwsze liczymy odpowiednią liczbę razy, na przykład: 24 = 2³ · 3¹ ma 3+1 = 4 czynniki pierwsze.

Równoważnie, przy użyciu funkcji Liouville’a, hipotezę tę można zapisać jako

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leqslant 0}$

dla wszystkich ${\displaystyle n,}$ gdzie ${\displaystyle \lambda (k)=(-1)^{\Omega (k)}}$ ma wartość +1 gdy liczba czynników pierwszych ${\displaystyle k}$ jest parzysta, a −1 gdy jest nieparzysta.

Obalenie

Hipoteza Pólyi została obalona przez C.B. Haselgrove’a w 1958 roku. Pokazał on, że istnieje kontrprzykład rozmiaru oszacowanego przez niego na 1,845 · 10³⁶¹. Wielkość tego kontrprzykładu pokazuje niebezpieczeństwo opierania się na nawet bardzo daleko sięgających sprawdzeniach komputerowych.

Dokładny kontrprzykład równy ${\displaystyle n=906\,180\,359}$ został podany przez R.S. Lehmana w 1960 roku. Najmniejszy istniejący kontrprzykład, wynoszący ${\displaystyle n=906\,150\,257,}$ podał Minoru Tanaka w 1980 roku.

Bibliografia

• R.S. Lehman, On Liouville’s function. Math. Comp. 14 (1960), s. 311–320.
• M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function, „Tokyo Journal of Mathematics” 3, (1980) s. 187–189.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pólya Conjecture, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].