Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych

Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych – problemem teorii liczb, związany z liczbami pierwszymi. Jako pierwszy prawdopodobnie Euklides około 300 roku p.n.e.^[1] postawił hipotezę, że:

Jest nieskończenie wiele liczb pierwszych ${\displaystyle p,}$ takich że ${\displaystyle p+2}$ jest również liczbą pierwszą.

Taka para liczb pierwszych jest nazywana liczbami pierwszymi bliźniaczymi. Wielu matematyków wierzy w prawdziwość tej hipotezy, chociaż bazuje ona tylko na dowodach numerycznych i heurystycznym rozumowaniu wynikającym z prawdopodobieństwa rozmieszczenia liczb pierwszych według modelu Craméra.

W 1849 Alphonse de Polignac sformułował bardziej ogólną hipotezę mówiącą, że:

Dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle k}$ jest nieskończenie wiele par liczb pierwszych ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle p',}$ takich że ${\displaystyle p-p'=2k.}$

W wypadku gdy ${\displaystyle k=1,}$ jest to hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych.

Uogólniona teoria liczb pierwszych bliźniaczych została sformułowana przez G.H. Hardy’ego i Johna Littlewooda. Określiła ona stałą liczb pierwszych bliźniaczych – ${\displaystyle C_{2}{:}}$

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geqslant 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}=0{,}660\,161\,815\,846\,869\,573\,927\,812\,110\,014\dots }$

Największe znane liczby pierwsze bliźniacze (wrzesień 2016) to: ${\displaystyle 2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1}$ składające się z 388342 cyfr^[2].

Przypisy