Igła Buffona

Igła Buffona – jeden z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges’a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon^[1], a w 1777 podał on jego rozwiązanie^[2].

Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby ${\displaystyle \pi }$ należy do klasy metod Monte Carlo.

Opis problemu i rozwiązanie

Mamy planszę z zaznaczonymi pionowymi liniami odległymi od siebie o ${\displaystyle t.}$ Upuszczamy na nią igłę o długości ${\displaystyle l,}$ przy czym ${\displaystyle l\leqslant t.}$ Eksperyment powtarzamy ${\displaystyle n}$ razy, i zliczamy ile razy igła przecięła którąś z linii siatki, otrzymując wartość ${\displaystyle R.}$ Jak oszacować stosunek ${\displaystyle {\frac {R}{n}},}$ czyli prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii?

Niech ${\displaystyle x}$ będzie odległością środka igły od najbliższej linii, a ${\displaystyle \theta }$ ostrym kątem między igłą a linią. Obie zmienne losowe są niezależne i podlegają rozkładowi równomiernemu:

${\displaystyle x\sim U\left[0,{\frac {t}{2}}\right],\ \ \theta \sim U\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Igła przetnie linię jeśli

${\displaystyle x\leqslant {\frac {l}{2}}\sin \theta .}$

Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int \limits _{0}^{{\frac {l}{2}}\cdot \sin \theta }{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {2}{t}}\,dxd\theta =\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {4}{\pi \cdot t}}\cdot x\right]_{0}^{{\frac {l}{2}}\cdot \sin \theta }\,d\theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {4}{\pi \cdot t}}\cdot {\frac {l}{2}}\cdot \sin \theta \,d\theta ={\frac {2\cdot l}{\pi \cdot t}}\cdot \left[-\cos \theta \right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {2\cdot l}{\pi \cdot t}}\cdot \left(-\cos {\frac {\pi }{2}}+\cos 0\right)={\frac {2\cdot l}{t\pi }}.}$

Ponieważ eksperyment pozwala oszacować prawdopodobieństwo przecięcia linii i igły przez ${\displaystyle {\frac {R}{n}},}$ otrzymujemy równość:

${\displaystyle {\frac {R}{n}}={\frac {2\cdot l}{t\cdot \pi }},}$

która po przekształceniu daje:

${\displaystyle \pi ={\frac {2\cdot l\cdot n}{t\cdot R}}.}$

Komentarze

Pierwotna wersja problemu dotyczyła oszacowania prawdopodobieństwa w grze Franc-Carreau polegającej na rzucaniu okrągłą monetą na podłogę podzieloną na kwadraty^[3]. Przegrana następowała, gdy moneta upadła na linię.

Jeżeli znamy liczbę π, opisany eksperyment może służyć jako estymacja innych zmiennych, np. długości igły.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Buffon's Needle Problem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).