Iloczyn Blaschkego

Iloczyn Blaschkego – funkcja analityczna ograniczona na otwartym kole jednostkowym. Funkcja ta jest skonstruowana w taki sposób, by posiadać ciąg (skończony lub nieskończony) liczb zespolonych ${\displaystyle a_{0},\;a_{1},\dots }$ wewnątrz koła jednostkowego.

Iloczyn Blaschkego jest powiązany z przestrzenią Hardy’ego. Po raz pierwszy został zaproponowany w 1915 roku przez Wilhelma Blaschkego^[1].

Definicja formalna

Ciąg punktów ${\displaystyle (a_{n})}$ wewnątrz koła jednostkowego spełnia warunki Blaschkego jeżeli

${\displaystyle \sum _{n}(1-|a_{n}|)<\infty .}$

Wykorzystując taki ciąg, iloczyn Blaschkego jest zdefiniowany jako

${\displaystyle B(z)=\prod _{n}B(a_{n},z),}$

gdzie współczynniki

${\displaystyle B(a,z)={\frac {|a|}{a}}\;{\frac {a-z}{1-{\overline {a}}z}},}$

o ile ${\displaystyle a\neq 0,}$ gdzie ${\displaystyle {\overline {a}}}$ jest sprzężeniem zespolonym ${\displaystyle a.}$ Gdy ${\displaystyle a=0,}$ wtedy ${\displaystyle B(0,z)=z.}$

Iloczyn Blaschkego ${\displaystyle B(z)}$ definiuje funkcję analityczną na otwartym kole jednostkowym z zerami (pojedynczymi lub wielokrotnymi) ${\displaystyle a_{n}.}$ Również należy do przestrzeni Hardy’ego ${\displaystyle H^{\infty }}$^[2].

Ciąg ${\displaystyle a_{n}}$ spełniający powyższe warunki jest również zwany ciągiem Blaschkego.

Twierdzenie Szegő

Zgodnie z twierdzeniem Gábor Szegő, jeżeli ${\displaystyle f}$ należy do ${\displaystyle H^{1}}$ (przestrzeń Hardy’ego z całkowalną normą), oraz jeżeli ${\displaystyle f}$ jest niezerowa, wtedy zera ${\displaystyle f}$ spełniają warunki Blaschkego.

Skończony iloczyn Blaschkego

Skończony iloczyn Blaschkego może być określony (jako analityczna funkcja na kole jednostkowym) w następujący sposób: Niech ${\displaystyle f}$ będzie funkcją analityczną na otwartym kole jednostkowym taką, że ${\displaystyle f}$ może być uciąglona na otwartym na zamkniętym dysku

${\displaystyle {\overline {\Delta }}=\{z\in \mathbb {C} \,|\,|z|\leq 1\},}$

który mapuje jednostkowy okrąg w siebie samego. Wtedy ${\displaystyle f}$ jest równa skończonemu iloczynowi Blaschkego

${\displaystyle B(z)=\zeta \prod _{i=1}^{n}\left({\frac {z-a_{i}}{1-{\overline {a_{i}}}z}}\right)^{m_{i}},}$

gdzie ${\displaystyle \zeta }$ leży na jednostkowym okręgu oraz ${\displaystyle m_{i}}$ jest wielokrotnością zera ${\displaystyle a_{i},|a_{i}|<1.}$ W szczególności, jeżeli ${\displaystyle f}$ spełnia powyższe warunki oraz nie posiada zer wewnątrz jednostkowego okręgu, wtedy ${\displaystyle f}$ jest stałą.

Przypisy

Bibliografia

• W. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen, Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig, 67 (1915), s. 194–200.
• PeterP. Colwell PeterP., Blaschke Products – Bounded Analytic Functions, Ann Arbor: University of Michigan Press, 1985, ISBN 0-472-10065-3, OCLC 11622575 .
• John B. Conway: Functions of a Complex Variable II. Wyd. Graduate Texts in Mathematics. T. 159. Springer-Verlag, s. 273–274. ISBN 0-387-94460-5.
• P.M. Tamrazov: Iloczyn Blaschkego. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.)

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Blaschke Product, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).