Iloczyn kartezjański

Iloczyn kartezjański, produkt zbiorów^[1] – dla danych zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ zbiór wszystkich takich par uporządkowanych ${\displaystyle (a,b),}$ że ${\displaystyle a}$ należy do zbioru ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle b}$ należy do zbioru ${\displaystyle B}$^[2][3]. Iloczyn kartezjański zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ oznacza się symbolem ${\displaystyle A\times B}$^[4][3].

Nazwa iloczyn kartezjański odwołuje się do pojęcia kartezjańskiego układu współrzędnych na płaszczyźnie ze względu na następującą analogię: punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisane są za pomocą uporządkowanych par liczb (pierwsza liczba nazywana jest odciętą, druga rzędną) – elementy iloczynu kartezjańskiego ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ można zatem utożsamiać z punktami na płaszczyźnie^[5]. Jednak w ogólności elementy zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ nie muszą być liczbami, mogą być dowolnymi obiektami matematycznymi.

Iloczyn kartezjański trójelementowych zbiorów A i B

Definicje

Iloczynem kartezjańskim zbiorów ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ nazywamy zbiór

${\displaystyle X\times Y:=\left\{(x,y)\colon x\in X\;\wedge \;y\in Y\right\}}$^[a]

W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Mianowicie ${\displaystyle A\times B\times C}$ to zbiór wszystkich trójek uporządkowanych ${\displaystyle (a,b,c)}$ takich, że ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle c\in C.}$ Definicja ta wymaga uściślenia, co się rozumie przez owe trójki. Można tego dokonać w rozmaity sposób. Jeden z nich^[6][7], to traktowanie tych trójek jako ciągów trójwyrazowych, czyli funkcji na zbiorze ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ w zbiór ${\displaystyle A\cup B\cup C.}$ Przy drugim^[8] jako ${\displaystyle A\times B\times C}$ bierze się ${\displaystyle A\times (B\times C),}$ a zatem trójka to para par: ${\displaystyle (a,(b,c)).}$ Formalnie zbiór ${\displaystyle A\times B\times C}$ zdefiniowany jako zbiór trójek i zbiór ${\displaystyle A\times (B\times C)}$ nie są równe, ale w praktyce to rozróżnienie nie ma znaczenia^[b][9][10].

Podobnie ${\displaystyle A\times B\times C\times D}$ można określić jako zbiór czwórek uporządkowanych ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ takich, że ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D.}$ Czwórki te można interpretować dwojako:

• jako funkcje z ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ w zbiór ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D,}$
• jako pary par ${\displaystyle \{a,\{b,\{c,d\}\}\},}$ wówczas iloczyn ${\displaystyle A\times B\times C\times D}$ określa się jako ${\displaystyle A\times (B\times (C\times D)).}$

Iloczyny kartezjańskie większej liczby zbiorów definiuje się analogicznie.

Przykłady

Niech dane będą zbiory ${\displaystyle A=\{x,y\}}$ oraz ${\displaystyle B=\{1,2,3\}.}$ Iloczyn kartezjański zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ zgodnie z definicją jest równy:

${\displaystyle A\times B=\{(x,1),(y,1),(x,2),(y,2),(x,3),(y,3)\}.}$

Zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dots \times \mathbb {R} }$ służy do konstruowania n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Uogólniony produkt kartezjański

Dla rodziny zbiorów ${\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}}$ można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji^[11]

${\displaystyle f\colon I\to \bigcup _{i\in I}A_{i},}$

takich że ${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$ dla każdego ${\displaystyle i\in I}$ nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów ${\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}}$ i oznacza takimi symbolami jak

${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i},}$ ${\displaystyle {\underset {i\in I}{\times }}A_{i}}$ lub ${\displaystyle {\underset {i\in I}{\operatorname {P} }}\;A_{i}.}$

Zobacz też

• m
• produkt (teoria kategorii)
• relacja (matematyka)
• suma prosta
• topologia produktowa
• twierdzenie o mnożeniu
• zbiór potęgowy

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Rozdział II (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa; Wrocław: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, s. 51–53, 73, seria: Monografie matematyczne, t. 27. [dostęp 2016-10-24].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975. OCLC 749626864.
• Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.