Iloczyn nieskończony

Iloczyn nieskończony – pojęcie analogiczne szeregowi; iloczyn nieskończenie wielu liczb (rzeczywistych lub zespolonych).

Ustalenia wstępne

Jeżeli ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},\ldots }$ jest ciągiem liczb, to liczby ${\displaystyle P_{1}=p_{1},P_{2}=p_{1}p_{2},\ldots ,P_{n}=p_{1}p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n}}$ nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }p_{n}=p_{1}p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n}\ldots }$

nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu ${\displaystyle p_{n},}$ natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}=\prod _{n=1}^{\infty }p_{n}}$

(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.

Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym – w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.

Związek z szeregami

Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu ${\displaystyle p_{n}}$ nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu ${\displaystyle p_{n}}$ jest zbieżny, to

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}=1.}$

Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego

Iloczyn nieskończony ciągu ${\displaystyle p_{n}}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\ln p_{n}.}$

Jeżeli warunek ten jest spełniony i ${\displaystyle L}$ jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi ${\displaystyle e^{L}.}$

Można podać też inne kryteria zbieżności:

• Jeżeli dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n}$ wyrazy ciągu liczbowego ${\displaystyle a_{n}}$ są stałego znaku, to iloczyn nieskończony

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

• Jeżeli zbieżne są szeregi: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ i ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2},}$ to zbieżny jest iloczyn ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}).}$

Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest iloczyn ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+|a_{n}|).}$

Warunek Cauchy’ego dla iloczynów: Iloczyn ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \forall \epsilon >0\exists n_{0}\forall n>n_{0}\forall k\in \mathbb {N} |{\frac {P_{n+k}}{P_{n}}}-1|<\epsilon .}$

Wniosek: Iloczyn ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ jest bezwzględnie zbieżny ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Szereg ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ jest bezwzględnie zbieżny.

Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$ – szczególny przypadek – iloczyn Wallisa:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}}$

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \sinh z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \cosh z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-p_{n}^{-z})}}}$ – Funkcja ζ Riemanna, ${\displaystyle p_{n}}$ oznacza ciąg liczb pierwszych

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$ – iloczyn Vièta

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.