Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta i przestrzeń Hilberta, utworzona z iloczynu tensorowego przestrzeni i traktowanych jako przestrzenie liniowe, z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym.

Definicja iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta

Iloczynem tensorowym przestrzeni Hilberta i nazywa się przestrzeń Hilberta, taką że:

(1) bazę przestrzeni stanowi zbiór wektorów

gdzie:

i bazy ortonormalne odpowiednio w przestrzeni i
Iloczyn Kroneckera wektorów baz i

(2) iloczyn skalarny w tej przestrzeni jest zdefiniowany następująco:

jeżeli i są przestrzeniami Hilberta z iloczynami skalarnymi, odpowiednio, i to iloczyn skalarny w przestrzeni definiuje wzór

gdzie:

Ponieważ iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta oznacza się takim samym symbolem, jak iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych typ iloczynu wynika z kontekstu:

  • przestrzenie liniowe, do których należą również przestrzenie Hilberta, mogą nie mieć zadanego iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest po prostu przestrzenią liniową, o bazie zadanej jak wyżej;
  • iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ma dodatkową strukturę, zadaną przez definicję iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest przestrzenią unitarną.

Własności

(1) Iloczyn tensorowy jest przestrzenią Hilberta o wymiarze równym iloczynowi wymiarów przestrzeni i

(2) W iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta występują wektory, których nie da się przedstawić w postaci iloczynu tensorowego wektorów składowych takich że i ale które są w ogólności dowolnymi kombinacjami liniowymi takich wektorów, tj. Przykłady takich wektorów podano w Przykładzie 2.

Przykład 1: Iloczyn tensorowy przestrzeni 2-wymiarowych

Rozważmy dwie przestrzenie Hilberta (w przedstawionych przykładach do oznaczenia wektorów przestrzeni Hilberta użyto notacji Diraca):

z bazą
z bazą

Iloczyn tensorowy tych przestrzeni jest przestrzenią Hilberta o wymiarze równym przy czym bazę tworzą iloczyny tensorowe wektorów bazowych przestrzeni przez wektory bazowe przestrzeni

Jeżeli wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako ortonormalne kety

oraz

wówczas ich iloczyny tensorowe (iloczyny Kroneckera) to:

Widać, że iloczyny tensorowe ketów i (tj. wektorów kolumnowych o 2 współrzędnych) tworzą kety o 4 współrzędnych. Powyższe wektory są unormowane do jedności i wzajemnie ortogonalne, dlatego tworzą bazę ortonormalną 4-wymiarowej przestrzeni Hilberta Iloczyny tensorowe wektorów bra bazy (reprezentowane przez wektory wierszowe) utworzyłyby oczywiście wektory bra o 4 współrzędnych. Gdyby natomiast wektory bazy przestrzeni zapisać w postaci wektorów ket (kolumnowych), a wektory bazy przestrzeni w postaci wektorów bra (wierszowych), to iloczyn tensorowy wektorów baz tworzących bazę przestrzeni miałby postać macierzy 2 × 2. Jeżeli np. wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako kety:

oraz bra

wtedy otrzymamy iloczyny diadyczne (zwane również iloczynami zewnętrznymi):

Z powyższego widać, że możliwe są różne reprezentacje wektorów baz rozważanych przestrzeni.

Przykład 2: Stan splątany 2 cząstek

Załóżmy, że mamy dwie cząstki opisane stanami:

Stany te należą do różnych przestrzeni Hilberta i ponieważ dotyczą różnych cząstek. Iloczyn tensorowy powyższych stanów ma postać:

czyli (pomijając symbol iloczynu tensorowego po prawej stronie równania):

Jednak najbardziej ogólny stan powyższych cząstek zwany stanem splątanym, nie da się sprowadzić do powyższego iloczynu tensorowego. Ma postać dowolnej kombinacji liniowej wektorów bazowych, tj.

gdzie:

lub lub lub zachowując jednak warunek normalizacji tj.

Na przykład dla stanów stanowiących równomierną superpozycję standardowych wektorów bazowych (stany takie można otrzymać za pomocą unitarnej transformacji Hadamarda):

iloczyn tensorowy ma postać:

natomiast stan splątany może mieć dowolne (znormalizowane) współczynniki, np.:

(gdzie ). W sensie matematycznym stany kwantowe stanowią surjektywną izometrię wektorów bazowych; stan kwantowy może nie zawierać wszystkich wektorów bazowych, jednak musi być znormalizowany. Cztery poniższe stany splątane zwane „stanami Bell’a” tworzą na przykład maksymalnie splątaną bazę czterowymiarowej przestrzeni Hilberta dwóch kubitów:

Stany splątane należą do iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta i jednak nie da się ich otrzymać poprzez tensorowe mnożenie stanu należącego do przestrzeni i stanu należącego do przestrzeni Stany splątane są więc stanami szczególnymi. Z racji swoich niezwykłych własności wykorzystuje się je m.in. w komputerach kwantowych, przewyższających szybkością obliczeń powszechne dotąd komputery klasyczne.

Przykład 3: Obliczanie iloczynu skalarnego

Jeżeli dane są dwa stany i należące odpowiednio do przestrzeni Hilberta i takie że

to ich iloczyn tensorowy ma postać (por. Przykład 2):

Iloczyn skalarny powyższego wektora oblicza się licząc iloczyny skalarne wektorów należących do tej samych przestrzeni Hilberta lub tj.:

Przykład 4: Iloczyn tensorowy przestrzeni L²

Jeżeli i miarami σ-skończonymi, to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm iloczynu tensorowego

na przestrzeń

że Symbol oznacza miarę produktową miar i

W przypadku, gdy zbiór jest dowolnym zbiorem oraz jest miarą liczącą na to

Jeżeli zbiór jest nieprzeliczalny, to miara nie jest σ-skończona. Pomimo tego, nawet w przypadku, gdy któryś ze zbiorów lub jest nieprzeliczalny, iloczyn tensorowy

jest izometryczny z przestrzenią

Zobacz też

Bibliografia

  • Joachim Weidmann: Linear operators in Hilbert spaces. Springer, 1980, s. 47–49, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-0387904276. (ang.)
  • Svante Janson: Gaussian Hilbert spaces. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, s. 318, seria: Cambridge Tracts in Mathematics. 129. ISBN 978-0-521-56128-0. (ang.)
  • Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 50. ISBN 978-0-12-585050-6. (ang.)
  • Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.