Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych ${\displaystyle V}$ oraz ${\displaystyle W}$ (nad tym samym ciałem) – przestrzeń liniowa, której bazę tworzą wszystkie wektory bazy przestrzeni ${\displaystyle V}$ mnożone tensorowo przez wszystkie wektory bazy przestrzeni ${\displaystyle W.}$

Iloczyn tensorowy ma więc wymiar równy iloczynowi wymiarów mnożonych przestrzeni. Iloczyn tensorowy różni się np. od sumy prostej przestrzeni liniowych, której wymiar jest sumą wymiarów dodawanych do siebie przestrzeni.

Pojęcie iloczynu tensorowego można uogólnić na inne obiekty matematyczne, takie jak macierze, tensory, algebry, przestrzenie liniowo-topologiczne, moduły.

Definicja iloczynu tensorowego dwóch przestrzeni liniowych

Jeżeli

• ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ – przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem,
• ${\displaystyle \{v_{s}\colon s\in S\}}$ – baza w przestrzeni ${\displaystyle V,}$
• ${\displaystyle \{w_{t}\colon t\in T\}}$ – baza w przestrzeni ${\displaystyle W,}$

to iloczynem tensorowym ${\displaystyle V\otimes W}$ przestrzeni liniowych ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ nazywa się przestrzeń liniową, której bazę stanowią iloczyny tensorowe wektorów bazowych mnożonych przestrzeni, tj. bazą jest zbiór

${\displaystyle \{v_{s}\otimes w_{t}\colon \,s\in S,\,t\in T\}.}$

Wymiar iloczynu tensorowego

Z definicji wynika, że wymiar iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych jest równy iloczynowi wymiarów mnożonych tensorowo przestrzeni, tj.

${\displaystyle \dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W.}$

Uwagi

(1) Każda przestrzeń liniowa jest modułem wolnym nad ciałem, a więc iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego modułów.

(2) W przypadku przestrzeni rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oraz ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$ gdzie ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle m}$ są liczbami naturalnymi, ich iloczyn tensorowy jest przestrzenią rzeczywistą wymiaru ${\displaystyle m\cdot n,}$ tj.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\otimes \mathbb {R} ^{m}=\mathbb {R} ^{nm}.}$

Iloczyn tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowych

(1) Iloczynem tensorowym przestrzeni ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3},\dots ,V_{n}}$ nazywa się iloczyn tensorowy przestrzeni ${\displaystyle (V_{1}\otimes V_{2}\dots \otimes V_{n-1})}$ przez przestrzeń ${\displaystyle V_{n},}$ dla ${\displaystyle n=3,4,\dots ,}$ tj.

${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\dots \otimes V_{n-1}\otimes V_{n}=(V_{1}\otimes V_{2}\dots \otimes V_{n-1})\otimes V_{n}.}$

Powyższa definicja jest definicją indukcyjną.

(2) W szczególności dla trzech przestrzeni ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$ ich iloczyn tensorowy jest równy iloczynowi tensorowemu przestrzeni ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ przez przestrzeń ${\displaystyle V_{3},}$ tj.

${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}=(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.}$

(3) Iloczyn tensorowy przestrzeni ${\displaystyle V}$ z nią samą n-krotnie mnożoną oznacza się skrótowo symbolem ${\displaystyle V^{\otimes n},}$ tj.

${\displaystyle \underbrace {V\otimes V\dots \otimes V} _{n}=V^{\otimes n}.}$

Przykład: Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych 2-wymiarowych

(1) Niech będą dane dwie przestrzenie liniowe:

${\displaystyle V}$ z bazą ${\displaystyle \{v_{1},v_{2}\},}$

${\displaystyle W}$ z bazą ${\displaystyle \{w_{1},w_{2}\}.}$

Iloczyn tensorowy ${\displaystyle V\otimes W}$ tych przestrzeni jest przestrzenią liniową o wymiarze równym ${\displaystyle 4,}$ przy czym bazę tworzą iloczyny tensorowe wektorów bazowych przestrzeni ${\displaystyle V}$ przez wektory bazowe przestrzeni ${\displaystyle W,}$ tj.

${\displaystyle v_{1}\otimes w_{1},\ v_{1}\otimes w_{2},\ v_{2}\otimes w_{1},\ v_{2}\otimes w_{2}.}$

(2) Iloczyny tensorowe wektorów bazy można przedstawić w postaci wektorów kolumnowych – aby pokazać to, wybierzmy reprezentację wektorów bazy w postaci wektorów kolumnowych:

${\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{v},}$ ${\displaystyle v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{v}}$

oraz

${\displaystyle w_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{w},\ w_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{w}.}$

Obliczając iloczyny tensorowe (iloczyny Kroneckera), otrzyma się:

${\displaystyle v_{1}\otimes w_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{v}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{w}={\begin{bmatrix}1\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{w}\\0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle v_{1}\otimes w_{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{v}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{w}={\begin{bmatrix}1\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{w}\\0\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle v_{2}\otimes w_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{v}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{w}={\begin{bmatrix}0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{w}\\1\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle v_{2}\otimes w_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{v}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{w}={\begin{bmatrix}0\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{w}\\1\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}.}$

Iloczyny tensorowe wektorów kolumnowych o 2 współrzędnych tworzą więc wektory kolumnowe o 4 współrzędnych. Powyższe wektory są unormowane do jedności i są wzajemnie ortogonalne, dlatego tworzą bazę ortonormalną 4-wymiarowej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V\otimes W.}$

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.