Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy – działanie dwuargumentowe przyporządkowujące parze wektorów 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej pewien wektor tej przestrzeni.

Niech ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} }$ będą wektorami 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej z ustaloną bazą uporządkowaną ${\displaystyle B.}$

Iloczyn wektorowy ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ wektorów ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} }$ określa się następująco:

• jeżeli wektory ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} }$ są liniowo zależne, to ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =0,}$
• jeżeli wektory ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} }$ są liniowo niezależne, to ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {c} ,}$ gdzie
  1. ${\displaystyle \mathbf {c} }$ jest prostopadły zarówno do ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ tzn. ${\displaystyle \mathbf {c} }$ jest wektorem normalnym do płaszczyzny wyznaczonej przez ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} }$
  2. długość wektora ${\displaystyle \mathbf {c} }$ jest równa polu powierzchni równoległoboku wyznaczonego przez wektory ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} }$
  3. układ wektorów ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ jest zorientowany zgodnie z bazą ${\displaystyle B.}$

Wynik działania w sposób istotny zależy od doboru bazy przestrzeni. W przypadku, gdy baza trójwymiarowej przestrzeni kartezjańskiej nie jest sprecyzowana, przyjmuje się za ${\displaystyle B}$ bazę kanoniczną złożoną z wektorów

${\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\;\mathbf {j} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\;\mathbf {k} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.}$

Historia

W 1843 roku William Rowan Hamilton opisał kwaterniony, za pomocą których współcześnie niekiedy opisuje się iloczyn wektorowy. Niezależnie, w tym samym okresie, tj. w roku 1844, Hermann Günther Grassmann zdefiniował tzw. „iloczyn geometryczny” bez odwoływania się jawnie do operacji „mnożenia” wektorów^[1].

Grassman, zainspirowany pracami Hamiltona, opublikował drugą wersję swojego traktatu, która okazała się znacznie przystępniejsza; również Hamilton wyraził się pochlebnie po zapoznaniu się z nią. W dalszej kolejności James Clerk Maxwell użył teorii kwaternionów w fizyce, zaś William Kingdon Clifford pod wpływem prac Grassmanna i Hamiltona, z wyraźnym wskazaniem na pierwszego z nich, sformalizował dziedzinę nazywaną dziś analizą wektorową. Opierając się na powstałej teorii, w tym na pracach Clifforda i Maxwella, Josiah Willard Gibbs wydał w 1881 roku Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students of Physics^[2]. Choć fizycy szybko przyjęli formalizm Gibbsa, to do matematyki znalazł on drogę znacznie później i dopiero po kilku modyfikacjach; o początkowej niechęci matematyków mogą świadczyć słowa Petera Guthriego Taita z jego przedmowy do trzeciego wydania swojego traktatu o kwaternionach, w której nazywa on nowy formalizm Gibbsa „pewnego rodzaju hermafrodytycznym potworem zestawionym z notacji Hamiltona i Grassmanna”^[3].

Znak a orientacja

Znajdowanie zwrotu iloczynu wektorowego za pomocą reguły prawej dłoni

W dowolnej przestrzeni kartezjańskiej można wyróżnić dwa rodzaje baz uporządkowanych: zgodnych z bazą standardową i z nią niezgodnych. Baza uporządkowana przestrzeni kartezjańskiej jest zorientowana dodatnio, jeżeli ma tę samą orientację co baza kanoniczna, tzn. wyznacznik macierzy przejścia od tej bazy do bazy kanonicznej jest dodatni. O bazach, które nie są zorientowane dodatnio, mówi się, że są zorientowane ujemnie.

W ten sposób w przestrzeni jednowymiarowej można wybrać jeden wektor, który będzie tworzył bazę zorientowaną dodatnio lub ujemnie; w przestrzeni dwuwymiarowej dowolny niezerowy wektor można uzupełnić do bazy dodatnio lub ujemnie zorientowanej, podobnie ma się rzecz dla pary (liniowo niezależnych) wektorów uzupełnianej o wektor w przestrzeni trójwymiarowej – można to uczynić na dwa sposoby, uzyskując układ wektorów zgodny z bazą standardową lub do niej przeciwny.

Iloczyn wektorowy, tak jak iloczyn skalarny, zależy od metryki przestrzeni euklidesowej, ale w przeciwieństwie do niego zależy również od wyboru orientacji lub „skrętności” tej przestrzeni. Wybór bazy standardowej w powyższej definicji oznacza ustalenie dodatniej (prawoskrętnej) orientacji przestrzeni, która do wyznaczania zwrotu iloczynu wektorowego wymaga użycia reguły prawej dłoni (reguły śruby prawoskrętnej); w przestrzeni o orientacji ujemnej (lewoskrętnej) należy korzystać z reguły lewej dłoni (reguły śruby lewoskrętnej).

Ustalenie orientacji może sprawiać problemy przy zmianie układu (np. odbicie prawoskrętnego układu współrzędnych w lewoskrętny), gdyż zwrot ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ powinien być zachowany – trudność tę można rozwiązać, przyjmując, że w ogólnym przypadku iloczyn wektorowy nie jest (prawdziwym) wektorem, lecz pseudowektorem (zob. uogólnienia).

Własności iloczynu wektorowego

• antyprzemienność,

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} ,}$

• rozdzielność względem dodawania,

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),}$

• zgodność z mnożeniem przez skalar,

${\displaystyle (r\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\mathbf {b} )=r(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• tożsamość Jacobiego:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0.}$

• Iloczyn wektorowy nie ma własności skracania: tzn. z równości ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} ,\mathbf {a} \neq 0}$ na ogół nie wynika ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {c} .}$
  Istotnie, wystarczy wskazać jakieś wektory ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\quad \mathbf {a} \neq 0,\mathbf {b} \neq \mathbf {c} ,}$ dla których zachodzi ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} .}$
  Niech więc ${\displaystyle \mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ będą liniowo niezależnymi wektorami i niech ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} -\mathbf {c} .}$
  Wówczas oczywiście ${\displaystyle \mathbf {a} \neq 0}$ oraz

  ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(\mathbf {b} -\mathbf {c} )\times \mathbf {b} =\mathbf {b} \times \mathbf {b} -\mathbf {c} \times \mathbf {b} =-\mathbf {c} \times \mathbf {b} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$

  ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {c} =(\mathbf {b} -\mathbf {c} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} -\mathbf {c} \times \mathbf {c} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$

Stąd ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} .}$

Obliczanie

Zapis we współrzędnych

Wektory jednostkowe ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ danego ortogonalnego układu współrzędnych spełniają poniższe równości:

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} ,\quad \qquad \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} ,\quad \qquad \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} .}$

Wspomniane trzy równości wystarczają wraz z antysymetrycznością i dwuliniowością do wyznaczenia iloczynu wektorowego dowolnych dwóch wektorów; w szczególności zachodzą także równości:

${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {i} =\mathbf {-} k,\qquad \mathbf {k} \times \mathbf {j} =\mathbf {-} i,\qquad \mathbf {i} \times \mathbf {k} =\mathbf {-} j}$

oraz

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} .}$

Korzystając z powyższych reguł, można obliczyć współrzędne iloczynu wektorowego dwóch wektorów bez potrzeby wyznaczania kątów; niech

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$

oraz

${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} =(b_{1},b_{2},b_{3}).}$

Iloczyn wektorowy powyższych wektorów, można obliczyć korzystając z rozdzielności względem dodawania tego działania:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )=\\&=a_{1}\mathbf {i} \times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )+a_{2}\mathbf {j} \times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )+a_{3}\mathbf {k} \times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )=\\&=(a_{1}\mathbf {i} \times b_{1}\mathbf {i} )+(a_{1}\mathbf {i} \times b_{2}\mathbf {j} )+(a_{1}\mathbf {i} \times b_{3}\mathbf {k} )+(a_{2}\mathbf {j} \times b_{1}\mathbf {i} )+(a_{2}\mathbf {j} \times b_{2}\mathbf {j} )+\\&\quad +(a_{2}\mathbf {j} \times b_{3}\mathbf {k} )+(a_{3}\mathbf {k} \times b_{1}\mathbf {i} )+(a_{3}\mathbf {k} \times b_{2}\mathbf {j} )+(a_{3}\mathbf {k} \times b_{3}\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$

a ponieważ mnożenie przez skalar jest przemienne z mnożeniem wektorów, to

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+a_{2}b_{1}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+\\&\quad +a_{2}b_{3}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+a_{3}b_{1}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} ),\end{aligned}}}$

czyli zgodnie z powyższymi regułami

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} +a_{1}b_{3}(-\mathbf {j} )+a_{2}b_{1}(-\mathbf {k} )+a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{3}b_{2}(-\mathbf {i} )+a_{3}b_{3}\mathbf {0} ,}$

a więc ostatecznie po wyłączeniu wspólnych wyrazów jest

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}).}$

Mnemotechniki

Zgodnie z interpretacją geometryczną definicję iloczynu wektorowego można przedstawić również jako wyznacznik macierzy formalnej:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}.}$

Wyznacznik ten można obliczyć za pomocą reguły Sarrusa,

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =a_{1}b_{2}\mathbf {k} +a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} -a_{3}b_{2}\mathbf {i} -a_{1}b_{3}\mathbf {j} -a_{2}b_{1}\mathbf {k} ,}$

lub rozwinięcia Laplace’a

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} ,}$

co w obu przypadkach daje składowe wektora wynikowego.

Reprezentacja macierzowa

Niech symbol ${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}$ oznacza macierz antysymetryczną

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{bmatrix}}.}$

Wówczas iloczyn wektorowy można przedstawić jako mnożenie macierzy przez wektor (działanie endomorfizmu na wektorze),

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} =[\mathbf {b} ]_{\times }^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {M} ^{\mathrm {T} }}$ oznacza macierz transponowaną do ${\displaystyle \mathbf {M} .}$ Ponadto jeśli wektor ${\displaystyle \mathbf {a} }$ sam jest iloczynem wektorowym,

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} ,}$

to

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=(\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.}$

Z ogólnych własności iloczynu wektorowego wynika natychmiast, że

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {a} =\mathbf {0} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} ,}$

zaś z antysymetryczności ${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}$ jest

${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} =0.}$

Notacja indeksowa

Iloczyn wektorowy

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {c} }$

można przedstawić zwięźle za pomocą symbolu Leviego-Civity, ${\displaystyle \varepsilon _{ijk},}$ jako

${\displaystyle c_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},}$

gdzie, jak wyżej, indeksy ${\displaystyle i,j,k}$ odpowiadają ortogonalnym składowym wektorów. Ta charakteryzacja często przedstawiana jest w jeszcze bardziej zwarty sposób w konwencji sumacyjnej Einsteina jako

${\displaystyle c_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.}$

Reprezentacja ta jest jeszcze jedną postacią antysymetrycznej reprezentacji iloczynu wektorowego:

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}a_{j}=[\mathbf {a} ]_{\times }.}$

Wzór Lagrange’a

Ponieważ iloczyn wektorowy nie jest łączny, to w ogólności

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\neq (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} .}$

Podwójnym iloczynem wektorowym wektorów ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ nazywa się wyrażenie:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

Z własności iloczynu wektorowego zachodzą równości:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

Ponadto prawdziwy jest wzór Lagrange’a, który łączy podwójny iloczyn wektorowy z iloczynem skalarnym:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$^[a].

W celu zapamiętania prawej strony równania stosuje się zabiegi mnemotechniczne „bac minus cab”. Wzór Lagrange’a wykorzystuje się często w fizyce przy upraszczaniu wyrażeń wektorowych. W przypadku gradientów, istotnym w analizie wektorowej, wzór ten przyjmuje postać^[b]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\mathrm {grad} (\mathrm {div} \;\mathbf {f} )-\Delta \mathbf {f} .\end{aligned}}}$

Jest to zarazem przypadek szczególny ogólniejszego operatora Laplace’a-de Rhama ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d.}$

Iloczyn mieszany

Rys 1. Pole równoległoboku jako moduł iloczynu wektorowego.

Rys 2. Objętość równoległościanu wyznaczona za pomocą iloczynów skalarnego i wektorowego; linie przerywane pokazują rzuty ${\displaystyle \mathbf {c} }$ na ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {a} }$ na ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$ w pierwszym kroku znajdowania iloczynów skalarnych.

Długość iloczynu wektorowego wektorów ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ to z określenia pole powierzchni równoległoboku o bokach będących tymi wektorami (zob. rys. 1). Z pomocą iloczynu wektorowego definiuje się iloczyn mieszany trójki wektorów ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ wzorem

${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

W szczególności, zachodzi wzór

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

Iloczyn mieszany trójki wektorów jest równy objętości równoległościanu o bokach będących danymi wektorami (zob rys. 2).

Związki z iloczynem skalarnym

Iloczyny wektorowy i skalarny są ze sobą związane równością

${\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

Prawa strona tej równości to wyznacznik Grama wektorów ${\displaystyle \mathbf {a} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {b} ,,}$ czyli kwadrat pola równoległoboku wyznaczanego przez te wektory (to spostrzeżenie znajduje zastosowanie w uogólnieniu przedstawionym w sekcji algebra wieloliniowa). Warunek ten opisuje długość iloczynu tych wektorów; wraz z wymaganiem ortogonalności iloczynu wektorowego do swoich czynników ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} }$ umożliwia on podanie alternatywnej definicji iloczynu wektorowego: korzystając z własności iloczynu skalarnego, można wyrazić długość za pomocą kąta,

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}},}$

co z powyższą tożsamością daje

${\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).}$

Zgodnie z regułą jedynki trygonometrycznej zachodzi równość^[4]:

${\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta ,}$

która była punktem wyjścia dla długości iloczynu wektorowego w interpretacji geometrycznej.

Tożsamość daną wzorem

${\displaystyle \sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}\!\!(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} }$ mogą być wektorami ${\displaystyle n}$-wymiarowymi nazywa się tożsamością Lagrange’a. W przypadku ${\displaystyle n=3}$ umożliwia ona wyrażenie długości iloczynu wektorowego za pomocą jego składowych:

${\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\!\!\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 3}\!\!(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}.}$

Ten sam wynik uzyskuje się bezpośrednio, korzystając ze składowych iloczynu wektorowego otrzymanych ze wzoru wyznacznikowego. Równanie Lagrange’a w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ jest przypadkiem szczególnym multiplikatywności ${\displaystyle |\mathbf {vw} |=|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |}$ normy algebry kwaternionów (zob. kwaterniony).

Jest to zarazem przypadek szczególny innego wzoru, również nazywanego niekiedy tożsamością Lagrange’a, będącego trójwymiarowym przypadkiem tożsamości Bineta-Cauchy’ego:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).}$

Jeśli ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {d} ,}$ to wyrażenie to upraszcza się do powyższego.

Istnieje również własność łącząca iloczyn wektorowy z iloczynem mieszanym:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )={\Big (}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ){\Big )}\mathbf {a} .}$

Uogólnienia

Algebry Liego

Grupa ortogonalna ${\displaystyle \mathrm {O} (3)}$ to podgrupa grupy euklidesowej ${\displaystyle \mathrm {E} (3),,}$ czyli grupy izometrii przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ która zawiera wyłącznie izometrie zachowujące początek. Podgrupa ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ grupy ${\displaystyle \mathrm {O} (3)}$ zawiera z kolei zaś tylko te izometrie zachowujące początek, które dodatkowo nie zmieniają orientacji przestrzeni – jest to grupa symetrii (trójwymiarowej) sfery i wszystkich obiektów o symetrii sferycznej względem środka tej sfery.

Iloczyn wektorowy jest jednym z prostszych nawiasów Liego, tzn. dwuargumentowych działań spełniających aksjomaty wieloliniowości, antysymetryczności i tożsamość Jacobiego; przestrzenie liniowe wyposażone w nawiasy Liego nazywa się algebrami Liego, które bada dział matematyki nazywany teorią Liego. Innym przykładem algebry Liego na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ jest algebra Heisenberga, w której nawias Liego opisany jest za pomocą zależności ${\displaystyle [\mathbf {i} ,\mathbf {j} ]=\mathbf {k} }$ oraz ${\displaystyle [\mathbf {i} ,\mathbf {k} ]=[\mathbf {j} ,\mathbf {k} ]=0.}$

Przedstawione wyżej własności opisują iloczyn wektorowy jako nieparzyste (antysymetryczne) przekształcenie dwuliniowe, które jako działanie nie jest ani łączne, ani przemienne. Przestrzeń liniowa wyposażona w iloczyn wektorowy tworzy więc nieprzemienną, niełączną algebrę nad ciałem, która jest algebrą Liego ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ rzeczywistej grupy ortogonalnej w trzech wymiarach, SO(3), z iloczynem wektorowym pełniącym rolę nawiasu Liego – pominięcie struktury afinicznej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ oznacza wybór podalgebry ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3),}$ w której zachowywany jest początek (brak przesunięć), z kolei ustalenie orientacji (brak odbić) oznacza dalsze zawężenie do podalgebry ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$ związanych odpowiednio z podgrupami grupy izometrii ${\displaystyle \mathrm {O} (3)}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {SO} (3).}$ Ograniczenie to jest równoważne z wymaganiem, by endomorfizmy tej przestrzeni zachowywały iloczyn skalarny.

Dla danego elementu ${\displaystyle \mathbf {a} }$ algebry Liego ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ działanie dołączone elementu ${\displaystyle \mathbf {a} }$ na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ definiuje się jako endomorfizm (liniowy) ${\displaystyle \mathrm {ad} _{\mathbf {a} }\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ dany wzorem

${\displaystyle \mathrm {ad} _{\mathbf {a} }(\mathbf {b} )=[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ]=\mathbf {a} \times \mathbf {b} }$

dla dowolnego ${\displaystyle \mathbf {b} }$ z przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ Endomorfizmy przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ można utożsamiać z macierzami stopnia 3, przy czym zawężenie działania ${\displaystyle \mathrm {ad} _{\mathbf {a} }}$ do ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ odpowiada zawężeniu klasy macierzy do macierzy antysymetrycznych. Tłumaczy to istnienie wzajemnie jednoznacznego odwzorowania między mnożeniem wektorowym przez ustalony wektor ${\displaystyle \mathbf {a} ,}$ a zbiorem macierzy antysymetrycznych stopnia 3 opisanych w sekcji reprezentacja macierzowa.

Kwaterniony i oktoniony

Iloczyn wektorowy można opisać za pomocą kwaternionów. Wektory jednostkowe ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ odpowiadają obrotom o 180° względem odpowiednich osi, tzn. obrotom reprezentowanym przez kwaterniony czyste (tzn. z zerową częścią skalarną) o normach jednostkowych.

W ten sposób zależności między ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ w iloczynie skalarnym zgadzają się z multiplikatywnymi zależnościami między kwaternionami ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} .}$ Ogólniej, niech wektorowi postaci ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$ odpowiada kwaternion ${\displaystyle a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} ,}$ wtedy iloczyn wektorowy odpowiada wzięciu części nierzeczywistej iloczynu kwaternionów; część rzeczywista to ujemny iloczyn skalarny dwóch wektorów. Utożsamiając kwaterniony czyste z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ można myśleć o iloczynie wektorowym jak o połowie komutatora dwóch kwaternionów, co opisano również dalej.

Konstrukcję iloczynu przeprowadzoną z użyciem orientacji i struktury metrycznej (poprzez niejawne wykorzystanie funkcji trygonometrycznych bądź iloczynu skalarnego, zob. sekcja definicja) dla trzech wymiarów można powtórzyć dla ${\displaystyle n}$ wymiarów tak, by biorąc iloczyn ${\displaystyle n-1}$ wektorów, uzyskać wektor prostopadły do nich wszystkich. Jeśli jednak iloczyn ma być nietrywialnym iloczynem dwuargumentowym dającym w wyniku wektory, to można ją wykonać wyłącznie w trzech i siedmiu wymiarach. Wynika to z faktu, iż jedynymi unormowanymi algebrami z dzieleniem są te o wymiarach 1, 2, 4 oraz 8, o czym mówi twierdzenie Hurwitza. Iloczyn wektorów siedmiowymiarowych jest tym samym związany z oktonionami w podobny sposób do tego, jak iloczyn wektorów trójwymiarowych jest związany z kwaternionami.

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Bronsztejn I.N., Siemiendiawjew K.A., Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.