Indeks chromatyczny

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka stopień grafu dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu – wszerz – w głąb najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem marszrutyzacji problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego kod Prüfera

Indeks chromatyczny grafu ${\displaystyle (\chi '(G))}$ – pojęcie związane z kolorowaniem krawędzi grafu. Określa minimalną liczbę kolorów wystarczającą do prawidłowego pokolorowania krawędzi grafu. Innymi słowy, to najmniejsza liczba kolorów potrzebnych do pomalowania krawędzi tak, aby żadne dwie krawędzie mające wspólny wierzchołek nie były tego samego koloru^[1][2].

Indeks chromatyczny grafu jest równy liczbie chromatycznej jego grafu krawędziowego.

Znalezienie indeksu chromatycznego jest problemem NP-trudnym, mimo że można bardzo dokładnie oszacować jego wartość. Wadim G. Wizing udowodnił, że ${\displaystyle \chi '(G)\leqslant \Delta (G)+1.}$ Ponieważ ${\displaystyle \chi '(G)\geqslant \Delta (G),}$ więc jeśli znamy stopień grafu wiemy, że indeks chromatyczny przyjmuje jedną z dwóch wartości: ${\displaystyle \Delta (G),}$ ${\displaystyle \Delta (G)+1.}$

Konsekwencją twierdzenia Wizinga jest podział wszystkich grafów na dwie klasy ze względu na indeks chromatyczny. Okazuje się, że znacznie więcej jest grafów o indeksie chromatycznym równym ${\displaystyle \Delta (G).}$ Grafy takie nazywamy grafami klasy 1, a ich przykładami są grafy dwudzielne, a także grafy pełne o parzystej liczbie wierzchołków. Grafami klasy 2, a więc o indeksie chromatycznym równym ${\displaystyle \Delta (G)+1,}$ są np. nieparzyste cykle, jak również grafy pełne nieparzystego rzędu^[3].

Indeks chromatyczny dowolnego nieparzystego cyklu wynosi 3

Zobacz też

• graf krawędziowy
• kolorowanie krawędzi
• liczba chromatyczna

Przypisy