Interpolacja trygonometryczna – metoda przybliżania funkcji za pomocą wielomianu trygonometrycznego (szeregu Fouriera). Taka interpolacja daje szczególnie dobre rezultaty przy przybliżaniu funkcji okresowych[1], gdyż metody używające klasycznych wielomianów, pozbawionych okresowości, powodują duże błędy interpolacji.
Przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy punkty węzłowe są równoodległe. W takim przypadku najlepszym rozwiązaniem jest dyskretna transformata Fouriera.
Metoda ogólna
Opracowano na podstawie materiału źródłowego[1].
Założeniem każdej interpolacji jest spełnienie warunków: gdzie:
Wtedy:
- Dla nieparzystej ilości punktów węzłowych:
- Dla parzystej ilości punktów węzłowych:
- Dla obu powyższych przypadków:
Przykład
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Interpolacja_trygonometryczna_przyklad_pl.jpg/350px-Interpolacja_trygonometryczna_przyklad_pl.jpg)
Punkty węzłowe z przykładu i funkcja interpolująca
przez nie przechodząca
- Dokonać interpolacji punktów za pomocą wielomianu trygonometrycznego:
Rozwiązanie
- Ilość punktów interpolowanych: (parzyste)
- Stopień:
Odpowiedź
Wielomian zespolony
Problem staje się bardziej naturalny jeśli sformujemy go w dziedzinie zespolonej. Możemy wtedy zapisać zależność na wielomian trygonometryczny w postaci:
gdzie i jest wielkością urojoną. Jeśli założymy, że wtedy
Redukuje to problem interpolacji trygonometrycznej do interpolacji wielomianowej na okręgu jednostkowym. Dowód i jednoznaczność interpolacji trygonometrycznej staje się więc wtedy równoważnym odpowiednim założeniom dla interpolacji wielomianowej[2].
Zobacz też
Przypisy