Inwersja (geometria)

Inwersja – rodzaj przekształcenia geometrycznego; można je sobie wyobrażać jako „wywinięcie” wnętrza ustalonego koła na zewnątrz i „zawinięcie” zewnętrza tego koła do jego wnętrza. Do kluczowych własności inwersji należą: zachowywanie kątów (nieskierowanych) oraz fakt, iż obrazami uogólnionych okręgów (tzn. okręgów lub prostych interpretowanych jako okręgi o nieskończonym promieniu) są uogólnione okręgi. Pojęcie to uogólnia się na przestrzenie wyższego wymiaru, zob. Uogólnienia.

Choć inwersje można zdefiniować dla płaszczyzny euklidesowej (lub ogólniej: afinicznej), to naturalnym miejscem badania tych przekształceń jest płaszczyzna inwersyjna rozszerzająca płaszczyznę o nienależący do niej punkt ${\displaystyle \infty }$ nazywany punktem w nieskończoności (nieskończenie dalekim, niewłaściwym, idealnym). Dodanie punktu ${\displaystyle \infty }$ do liczb zespolonych (zob. uzwarcenie) daje zespoloną prostą rzutową nazywaną często sferą Riemanna.

Definicja

Punkt ${\displaystyle \mathrm {P} }$ jest przekształcany w inwersji względem okręgu o środku ${\displaystyle \mathrm {O} }$ na punkt ${\displaystyle \mathrm {P} '.}$

Inwersją względem okręgu ${\displaystyle c(\mathrm {o} ,r)}$ nazywa się przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {x} \mapsto \mathrm {x} '}$ płaszczyzny euklidesowej spełniające warunki^[1]:

${\displaystyle \mathrm {x} '\in \mathrm {ox} ^{\rightarrow }}$

oraz

${\displaystyle |\mathrm {ox} ||\mathrm {ox'} |=r^{2}\quad {\text{ dla }}\mathrm {x} \neq \mathrm {o} .}$

Na płaszczyźnie inwersyjnej dodaje się jeszcze dwa warunki, dzięki którym przekształcenie inwersyjne jest określone dla wszystkich jej punktów:

${\displaystyle \mathrm {o} \mapsto \infty \quad {\text{ oraz }}\quad \infty \mapsto \mathrm {o} .}$

Własności

Inwersja względem okręgu o środku ${\displaystyle \mathrm {O} }$ przekształca okrąg przechodzący przez punkt ${\displaystyle \mathrm {O} }$ na prostą nieprzechodzącą przez ten punkt (i odwrotnie).

Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek ${\displaystyle \mathrm {O} }$ okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt.

Punktami stałymi inwersji są punkty okręgu inwersyjnego. Ponadto przekształca ona uogólnione okręgi (okręgi i proste) na uogólnione okręgi, dokładniej:

• Przekształca proste nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego na okręgi przechodzące przez środek okręgu inwersyjnego (i na odwrót); odwzorowuje w siebie proste przechodzące przez środek okręgu inwersyjnego.
• Odwzorowuje okręgi nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego na okręgi nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego; uogólniony okrąg przechodzi w siebie wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadły do okręgu inwersyjnego w ich punktach przecięcia.

Wymienione przekształcenia można odwrócić, gdyż inwersja jest inwolucją. Dodatkowo inwersje są odwzorowaniami wiernokątnymi, tzn. zachowują kąty między krzywymi (w szczególności: prostymi i okręgami), lecz zmieniają znak miary kątów skierowanych (są antykonforemne).

Złożenie dwóch inwersji względem współśrodkowych okręgów o promieniach ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ jest złożeniem dwóch jednokładności o skali ${\displaystyle (r_{2}/r_{1})^{2}.}$

Odwrotność zespolona

Ponieważ punktowi płaszczyzny można przypisać liczbę zespoloną ${\displaystyle z,}$ to można zdefiniować inwersję względem okręgu jednostkowego za pomocą odwrotności ${\displaystyle {\bar {z}}^{-1}={\frac {z}{|z|^{2}}},}$ gdzie ${\displaystyle {\bar {z}}}$ oznacza sprzężenie liczby ${\displaystyle z.}$

Odwrotność zespolona jest obok przesunięć równoległych i obrotów generatorem grupy Möbiusa. To właśnie odwrotność nadaje osobliwy ton geometrii Möbiusa utożsamianej czasem z geometrią inwersyjną (płaszczyzny euklidesowej). Geometria inwersyjna jest bogatsza niż geometria Möbiusa, gdyż operuje się w nim odwzorowaniem inwersyjnym nieprzekształconym poprzez sprzężenie w odwrotność. W ten sposób zawiera ona także sprzężenie, z kolei grupa Möbiusa nie zawiera ani sprzężenia, a co za tym idzie inwersji względem okręgu, gdyż nie są one konforemne (elementami tej grupy są funkcje analityczne płaszczyzny, które są konforemne).

Uogólnienia

Inwersja względem okręgu uogólnia się na inwersję względem sfery w przestrzeni trójwymiarowej mutatis mutandis. Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym obrazem inwersyjnym sfery jest sfera, ale gdy przechodzi ona przez środek sfery inwersyjnej, to jest ona przekształcana w płaszczyznę; dowolna płaszczyzna nie przechodząca przez środek sfery inwersyjnej jest przekształcana w inwersji na sferę zawierającą środek sfery inwersyjnej.

Rzut stereograficzny to przypadek szczególny inwersji sfery. Niech dana będzie sfera ${\displaystyle B}$ o promieniu jednostkowym i płaszczyzna ${\displaystyle P}$ styczna z ${\displaystyle B}$ w biegunie południowym ${\displaystyle S}$ sfery ${\displaystyle B.}$ Wówczas ${\displaystyle P}$ jest rzutem stereograficznym ${\displaystyle B}$ względem bieguna północnego ${\displaystyle N}$ sfery ${\displaystyle B.}$ Inwersja względem sfery ${\displaystyle B_{2}}$ o promieniu 2 i środku ${\displaystyle N}$ przekształca ${\displaystyle B}$ na jej rzut stereograficzny ${\displaystyle P.}$

Geometria inwersyjna służy badaniu przekształceń generowanych przez przekształcenia euklidesowe wraz z inwersją względem ${\displaystyle n}$-sfery,

${\displaystyle x_{i}\mapsto {\frac {r^{2}x_{i}}{\sum _{j}x_{j}^{2}}},}$

gdzie ${\displaystyle r}$ oznacza promień inwersji. Na płaszczyźnie, dla ${\displaystyle r=1,}$ powyższy wzór opisuje inwersję względem okręgu jednostkowego.

Odwzorowania konforemne przestrzeni wyższych wymiarów można opisać jako złożenia inwersji względem hipersfer lub hiperpłaczyzn oraz ruchów euklidesowych, o czym mówi twierdzenie Liouville'a o odwzorowaniach konforemnych.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Inwersje kwadratu, koła oraz pęku prostych i okręgów względem okręgu na YouTube
• Inwersja trójwymiarowego modelu konia względem sfery na YouTube