Izomorfizm

Grupa pierwiastków z jedynki piątego stopnia z działaniem mnożenia jest izomorficzna z grupą obrotów foremnego pięciokąta.

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) – funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

W przypadku obiektów algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie ${\displaystyle f}$ takie, że ${\displaystyle f}$ i jego odwrotność ${\displaystyle f^{-1}}$ są homomorfizmami.

O strukturach ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ w ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Obiekty izomorficzne nie mogą być odróżnione tylko na podstawie własności użytych do zdefiniowania izomorfizmu i dlatego mogą być uważane za identyczne (różniące się w zasadzie tylko oznaczeniami) jeśli bierze się pod uwagę tylko te własności. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.

Przykłady

• Izomorfizm z grupy ${\displaystyle (A,\circ )}$ w grupę ${\displaystyle (B,\bullet )}$ to bijekcja ${\displaystyle f\colon A\to B}$ zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że ${\displaystyle \forall _{a,b\in A}\;f(a\circ b)=f(a)\bullet f(b).}$
• Izomorfizm z ciała ${\displaystyle (K,\circ ,+)}$ w ciało ${\displaystyle (L,\bullet ,\Diamond )}$ to bijekcja ${\displaystyle g\colon K\to L}$ taka, że ${\displaystyle \forall _{a,b\in K}\;g(a\circ b)=g(a)\bullet g(b)\land g(a+b)=g(a)\;\Diamond \;g(b).}$
• Izomorfizm z częściowego porządku ${\displaystyle (P,<)}$ w częściowy porządek ${\displaystyle (Q,\triangleleft )}$ to funkcja wzajemnie jednoznaczna ${\displaystyle h\colon P\to Q:\forall _{a,b\in P}\;a<b\iff h(a)\triangleleft h(b).}$

Teoria kategorii

Morfizm ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ taki, że ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}$ oraz ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$^[1].

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to ${\displaystyle f}$ jest izomorfizmem, zaś ${\displaystyle g}$ nazywane jest po prostu odwrotnością ${\displaystyle f.}$ Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność ${\displaystyle g}$ jest także izomorficzna z odwrotnością ${\displaystyle f.}$ O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

Własności

1. Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem^[2][3].
2. Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.

Przykłady

• W Set izomorfizmami są bijekcje.
• W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
• W Vec_K izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe.
• W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
• W Met izomorfizmami są izometrie.
• W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

Zobacz też

• morfizm
• algebra ogólna
• homomorfizm
• epimorfizm
• monomorfizm

Przypisy

Bibliografia

• Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.

Literatura dodatkowa

Polskojęzyczna

• Fritz Reinhardt: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 41. ISBN 83-7469-189-1.
• Andrzej Mostowski: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974, s. 49, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 16.
• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.

Anglojęzyczna

• Steven George Krantz: Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry. CRC Press, 2000, s. 162. ISBN 1-58488-052-X, ISBN 978-1-58488-052-3. [dostęp 2009-05-05]. (ang.)
• Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.