Izomorfizm muzyczny

Ten artykuł od 2015-09 wymaga zweryfikowania podanych informacji: z dyskusji: Artykuł zupełnie niezrozumiały nawet dla zawodowych matematyków. Poproszę o źródła – szczególnie z polską nazwą tego terminu. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Izomorfizm muzyczny – izomorfizm między wiązką styczną ${\displaystyle TM}$ a wiązką kostyczną ${\displaystyle T^{*}M}$ rozmaitości riemannowskiej ${\displaystyle M}$ określony za pomocą jej metryki. Znany jest również jako podnoszenie i opuszczanie wskaźników.

Dyskusja

Niech ${\displaystyle (M,g)}$ oznacza rozmaitość riemannowską, zaś ${\displaystyle \{\partial _{i}\}}$ oznacza lokalny układ współrzędnych dla wiązki stycznej ${\displaystyle \operatorname {T} M}$ z dualnym do niego koukładem ${\displaystyle \{\operatorname {d} x^{i}\}.}$ Wówczas można wyrazić lokalnie metrykę riemannowską (która jest 2-kowariantnym polem tensorowym symetrycznym i dodatnio określone) jako ${\displaystyle g=g_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \operatorname {d} x^{j}.}$ Dla danego pola wektorowego ${\displaystyle X=X^{i}\partial _{i}}$ można zdefiniować jego bemol jako

${\displaystyle X^{\flat }:=g_{ij}X^{i}\operatorname {d} x^{j}=:X_{j}\operatorname {d} x^{j}.}$

Operację tę nazywa się „opuszczaniem wskaźnika”. Korzystając z tradycyjnej notacji nawiasów kątowych dla iloczynu skalarnego wyznaczonego przez ${\displaystyle g}$ otrzymuje się nieco bardziej przejrzysty związek

${\displaystyle X^{\flat }(Y)=\langle X,Y\rangle }$

dla wszystkich wektorów ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y.}$

Alternatywnie, dla danego pola kowektorowego ${\displaystyle \omega =\omega _{i}\operatorname {d} x^{i}}$ można określić jego krzyżyk jako

${\displaystyle \omega ^{\sharp }:=g^{ij}\omega _{i}\partial _{j},}$

gdzie ${\displaystyle g^{ij}}$ są elementami macierzy odwrotnej do ${\displaystyle g_{ij}.}$ Branie krzyżyka pola kowektorowego nazywa się „podnoszeniem wskaźnika”.

Konstrukcja ta daje dwa wzajemnie odwrotne izomorfizmy ${\displaystyle \flat \colon \operatorname {T} M\to \operatorname {T} ^{*}M}$ oraz ${\displaystyle \sharp \colon \operatorname {T} ^{*}M\to \operatorname {T} M.}$ Są to izomorfizmy wiązek wektorowych, które dla każdego ${\displaystyle p\in M}$ dają odwrotne izomorfizmy przestrzeni liniowych między ${\displaystyle \operatorname {T} _{p}M}$ oraz ${\displaystyle \operatorname {T} _{p}^{*}M.}$

Izomorfizmy muzyczne mogą być także rozszerzone na wiązki ${\displaystyle \bigotimes ^{k}\operatorname {T} M}$ oraz ${\displaystyle \bigotimes ^{k}\operatorname {T} ^{*}M.}$ Należy przy tym zaznaczyć, który ze wskaźników ma być podniesiony lub opuszczony. Przykładowo niech dane będzie pole ${\displaystyle (2,0)}$-tensorowe ${\displaystyle X=X_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \operatorname {d} x^{j}.}$ Podnosząc drugi wskaźnik uzyskuje się pole ${\displaystyle (1,1)}$-tensorowe ${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \partial _{k}.}$

Ślad tensora poprzez metrykę

Niech dla danego pola ${\displaystyle (2,0)}$-tensorowego ${\displaystyle X=X_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \operatorname {d} x^{j}}$ będzie określony ślad ${\displaystyle X}$ poprzez metrykę ${\displaystyle g}$ jako

${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij})=g^{ji}X_{ij}=g^{ij}X_{ij}.}$

Należy zauważyć, że definicja śladu jest niezależna od wyboru podnoszonego wskaźnika, gdyż tensor metryczny jest symetryczny.

Zobacz też

• dualność
• podnoszenie i opuszczanie wskaźników
• wiązka wektorowa
• bemol i krzyżyk o znakach oraz ♭ i ♯