Jądro (algebra)

Jądro – dla danej struktury algebraicznej homomorficzny przeciwobraz elementu neutralnego. Dla danego homomorfizmu ${\displaystyle f}$ jego jądro oznacza się zwykle ${\displaystyle \ker f}$ (od ang. kernel)^[1].

Homomorfizm grupowy

Niech ${\displaystyle f\colon G\to H}$ będzie homomorfizmem grup. W teorii grup jądrem homomorfizmu ${\displaystyle f}$ nazywamy podgrupę ${\displaystyle f^{-1}(e),}$ gdzie ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym działania w grupie ${\displaystyle H.}$

Homomorfizm ${\displaystyle f\colon G\to H}$ jest przekształceniem różnowartościowym (monomorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \ker f=\{e\}.}$

Homomorfizm pierścieni

Niech ${\displaystyle f\colon R\to S}$ będzie homomorfizmem pierścieni. W teorii pierścieni jądrem homomorfizmu ${\displaystyle f}$ nazywa się podzbiór ${\displaystyle f^{-1}(0),}$ gdzie ${\displaystyle 0}$ oznacza element neutralny w grupie addytywnej pierścienia ${\displaystyle R.}$

Przekształcenie liniowe

Niech ${\displaystyle f\colon U\to V}$ będzie przekształceniem liniowym (homomorfizmem przestrzeni liniowych) między przestrzeniami liniowymi nad ciałem ${\displaystyle K.}$ W algebrze liniowej jądrem przekształcenia liniowego ${\displaystyle f}$ nazywany jest przeciwobraz wektora zerowego, czyli podzbiór

${\displaystyle \left\{x\in U\colon f(x)=0\right\}.}$

Własności

• ${\displaystyle \ker f}$ jest podprzestrzenią liniową dziedziny przekształcenia ${\displaystyle f,}$
• ${\displaystyle \dim f=\dim \ker f+\dim \operatorname {im} f,}$ gdzie ${\displaystyle {\mbox{im }}f}$ oznacza obraz przekształcenia ${\displaystyle f,}$
• przekształcenie ${\displaystyle f}$ jest różnowartościowe ${\displaystyle \iff \ker f=\{0\}.}$

Przypisy