Jądro (teoria kategorii)

Pojęcie, którego szczególnymi przypadkami są: jądro homomorfizmu grup, jądro homomorfizmu pierścieni, modułów itp.

Jądro morfizmu

Niech ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ będzie kategorią z morfizmami zerowymi.

Ilustracja definicji jądra morfizmu

Morfizm ${\displaystyle \mu \colon K\to A}$ nazywamy jądrem morfizmu^[1] ${\displaystyle \alpha \colon A\to B,}$ jeśli:

• ${\displaystyle \alpha \mu =0}$
• dla każdego morfizmu ${\displaystyle \varphi \colon H\to A,}$ takiego że ${\displaystyle \alpha \varphi =0}$ istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm ${\displaystyle \psi \colon H\to K,}$ że ${\displaystyle \varphi =\mu \psi .}$

Jądro morfizmu ${\displaystyle \alpha }$ oznaczane jest przez ${\displaystyle \ker \alpha .}$

Jeśli ${\displaystyle \mu =\ker \alpha }$ i ${\displaystyle \mu '=\ker \alpha ,}$ to istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony izomorfizm ${\displaystyle \xi ,}$ że ${\displaystyle \mu '=\mu \xi .}$ Na odwrót, jeśli ${\displaystyle \mu =\ker \alpha }$ i ${\displaystyle \xi }$ jest izomorfizmem, to morfizm ${\displaystyle \mu '=\mu \xi }$ jest jądrem ${\displaystyle \alpha .}$ Zatem wszystkie jądra morfizmu ${\displaystyle \alpha }$ tworzą podobiekt obiektu ${\displaystyle A,}$ który oznaczany jest przez ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\alpha .}$

Własności jądra morfizmu

• Jeśli ${\displaystyle \mu =\ker \alpha ,}$ to ${\displaystyle \mu }$ jest monomorfizmem normalnym. Twierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe.
• Jądrem morfizmu zerowego ${\displaystyle 0\colon A\to B}$ jest morfizm jednostkowy ${\displaystyle 1_{A}.}$
• Jądro morfizmu jednostkowego istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ istnieje obiekt zerowy.
• Nie w każdej kategorii z morfizmami zerowymi każdy morfizm ma jądro.
• W kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ z obiektem zerowym morfizm ${\displaystyle \alpha \colon A\to B}$ posiada jądro wtedy i tylko wtedy, gdy w ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ istnieje kwadrat uniwersalny względem morfizmów ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle 0\colon 0\to B.}$ Warunek ten jest spełniony w szczególności dla dowolnego morfizmu lokalnie małej lewostronnie kategorii z obiektem zerowym i koiloczynem.

Kojądro morfizmu

Ilustracja definicji kojądra morfizmu

Niech ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ będzie kategorią z morfizmami zerowymi. Morfizm ${\displaystyle \nu \colon B\to C}$ nazywa się kojądrem morfizmu^[2] ${\displaystyle \alpha \colon A\to B,}$ jeśli:

• ${\displaystyle \alpha \nu =0}$
• dla każdego morfizmu ${\displaystyle \varphi \colon B\to D,}$ takiego że ${\displaystyle \varphi \alpha =0}$ istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm ${\displaystyle \psi \colon C\to D,}$ że ${\displaystyle \varphi =\psi \nu .}$

Kojądro morfizmu ${\displaystyle \alpha }$ oznacza się ${\displaystyle \mathrm {coker} \,\alpha .}$

Jeśli ${\displaystyle \nu =\mathrm {coker} \,\alpha }$ i ${\displaystyle \nu '=\mathrm {coker} \,\alpha ,}$ to istnieje jednoznacznie określony izomorfizm ${\displaystyle \xi ,}$ że ${\displaystyle \nu '=\xi \nu .}$

Na odwrót, jeśli ${\displaystyle \nu =\mathrm {coker} \,\alpha }$ i ${\displaystyle \xi }$ jest izomorfizmem, to ${\displaystyle \nu '=\xi \nu }$ jest kojądrem morfizmu ${\displaystyle \alpha .}$ Zatem wszystkie kojądra morfizmu ${\displaystyle \alpha }$ tworzą obiekt ilorazowy obiektu ${\displaystyle B,}$ który oznacza się ${\displaystyle \mathrm {Coker} \,\alpha .}$

Pojęcie to jest dualne do pojęcia jądra morfizmu. W kategoriach przestrzeni wektorowych, grup, pierścieni i innych struktur algebraicznych opisuje największy obiekt ilorazowy obiektu ${\displaystyle B}$ zerujący obraz homomorfizmu ${\displaystyle \alpha \colon A\to B.}$

Własności kojądra morfizmu

• Jeśli ${\displaystyle \nu =\mathrm {coker} \,\alpha ,}$ to ${\displaystyle \nu }$ jest epimorfizmem konormalnym. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.
• Kojądro morfizmu zerowego ${\displaystyle 0\colon A\to B}$ jest równe ${\displaystyle 1_{B}.}$
• Kojądro morfizmu ${\displaystyle 1_{A}}$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ jest obiekt zerowy.

Przypisy

Bibliografia

• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985.
• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982.
• Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
• Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.
• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.