Jednokładność

Obraz trójkąta ${\displaystyle ABC}$ w jednokładności
o środku ${\displaystyle O}$ i skali 5/3
${\displaystyle J_{O}^{\frac {5}{3}}(\triangle ABC)=\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$

Jednokładność, homotetia^[1] (gr. ὁμοίως + θέσεις = pokrewieństwo) o środku ${\displaystyle r}$ i niezerowej skali ${\displaystyle k}$ – odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni, określone następująco:

${\displaystyle J_{r}^{k}(p)=q\quad {\mbox{ gdzie }}{\vec {rq}}=k\cdot {\vec {rp}}.}$

Z definicji w szczególności wynika, że:

${\displaystyle J_{r}^{k}(r)=r.}$

Liczba ${\displaystyle k}$ nazywana jest także stosunkiem jednokładności.

Dla ${\displaystyle k=1}$ jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla ${\displaystyle k=-1}$ jednokładność jest symetrią środkową o środku ${\displaystyle r.}$ Każda jednokładność jest podobieństwem o skali ${\displaystyle |k|.}$ Dwie figury ${\displaystyle F_{a}}$ i ${\displaystyle F_{b}}$ są jednokładne, gdy istnieje punkt ${\displaystyle r}$ i niezerowa skala ${\displaystyle k}$ takie, że jednokładność przekształca figurę ${\displaystyle F_{a}}$ na figurę ${\displaystyle F_{b}.}$

Ważną własnością jednokładności jest to, że dowolne podobieństwo na płaszczyźnie, w przestrzeni itd. jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładności.

Zbiór jednokładności o wspólnym środku ${\displaystyle r}$ jest grupą, przy tym

• złożenie jednokładności ${\displaystyle J_{r}^{l}\circ J_{r}^{k}}$ jest jednokładnością ${\displaystyle J_{r}^{l\cdot k},}$
• jednokładnością odwrotną do ${\displaystyle J_{r}^{k}}$ jest ${\displaystyle J_{r}^{1/k},}$
• jednością grupy jest tożsamość ${\displaystyle J_{r}^{1}.}$

W przypadku złożenia dwóch jednokładności ${\displaystyle J_{s}^{l},J_{r}^{k}}$ o dowolnych środkach zachodzą dwie możliwości:

• jeśli ${\displaystyle k\cdot l=1,}$ to ${\displaystyle J_{s}^{l}\circ J_{r}^{k}}$ jest translacją ${\displaystyle T_{(1-l){\vec {rs}}}}$ tzn. translacją o wektor ${\displaystyle (1-l){\vec {rs}},}$
• jeśli ${\displaystyle k\cdot l\neq 1,}$ to ${\displaystyle J_{s}^{l}\circ J_{r}^{k}}$ jest jednokładnością ${\displaystyle J_{r+{\tfrac {1-l}{1-kl}}{\vec {rs}}}^{k\cdot l}.}$

Ponadto dla jednokładności ${\displaystyle J_{r}^{k},k\neq 1}$ i translacji ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ o wektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ zachodzi:

• złożenie ${\displaystyle J_{r}^{k}\circ T_{\mathbf {v} }}$ jest jednokładnością ${\displaystyle J_{r+{\tfrac {k}{1-k}}\mathbf {v} }^{k},}$
• złożenie ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\circ J_{r}^{k}}$ jest jednokładnością ${\displaystyle J_{r+{\tfrac {1}{1-k}}\mathbf {v} }^{k}.}$

Oznacza to, że zbiór jednokładności wraz ze zbiorem translacji tworzy grupę przekształceń geometrycznych. Jest ona izomorficzna z grupą dylatacji.

Przypisy