Kąt między dwiema krzywymi

Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich (f(x) i g(x)) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x₀. Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi =\left|{\frac {f'(x_{0})-g'(x_{0})}{1+f'(x_{0})g'(x_{0})}}\right|}$    dla    ${\displaystyle 1+f'(x_{0})g'(x_{0})\neq 0.}$

Jeżeli

${\displaystyle 1+f'(x_{0})g'(x_{0})=0\implies \varphi =90^{\circ }.}$

Wyprowadzenie wzoru

Mamy dane 2 dowolne funkcje f(x) oraz g(x) przecinające się w punkcie x₀ oraz różniczkowalne w tym punkcie. Wówczas przez punkt x₀ przechodzą styczne do obydwu wykresów, tworzące pewien kąt φ. Kąt nachylenia stycznej do f(x) nazwiemy β (kąt między styczną a osią OX), kąt nachylenia stycznej do g(x) nazwiemy α.

Styczne oraz oś OX tworzy trójkąt, w którym

${\displaystyle \alpha +(\pi -\beta )+\varphi =\pi ,}$

stąd mamy, że

${\displaystyle \varphi =\beta -\alpha ,}$

więc

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi =\operatorname {tg} (\beta -\alpha ).}$

Z prawej strony zastosujemy wzór na tangens różnicy kątów i otrzymujemy:

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi =\left|{\frac {\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }{1+\operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \alpha }}\right|.}$

Wiemy również, że

${\displaystyle \operatorname {tg} \beta =f'(x_{0})}$ oraz ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =g'(x_{0}).}$

Podstawiając do wzoru, otrzymujemy

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi =\left|{\frac {f'(x_{0})-g'(x_{0})}{1+f'(x_{0})g'(x_{0})}}\right|.}$

Zobacz też

• kąt między dwiema prostymi