Kąt równoległości

Kąt równoległości odpowiadający odległości – w geometrii hiperbolicznej kąt między prostopadłą, wyprowadzoną z punktu znajdującego się w odległości od prostej a promieniem równoległym[1] do prostej wyprowadzonym z punktu Kąt równoległości nazywany jest także kątem Łobaczewskiego i oznaczany jest przez [2].

Istnieje taka stała zależna od skali odległości w przestrzeni hiperbolicznej, że jeśli jest odległością punktu od prostej to:

[3].
Dwa kąty Łobaczewskiego wyprowadzone z punktu promienie równoległe do prostej (kolor niebieski) zaznaczono kolorem purpurowym, a odcinek prostopadły – kolorem zielonym.

Jeśli jest takim punktem prostej że odcinek jest prostopadły do to możemy napisać:

gdzie punkty i punktami w nieskończoności.

Kąty Łobaczewskiego w modelu Poincarégo oznaczone purpurową literą α.

Własności

  • Wzór na kąt równoległości można też zapisać następująco:

Wystarczy w tym celu do wzoru

podstawić a następnie skorzystać ze wzoru

oraz licznik i mianownik powstałego ułamka pomnożyć przez

  • Z punktu można wyprowadzić dwa różne promienie równoległe do prostej Oba te promienie są położone symetrycznie względem prostopadłej do prostej poprowadzonej z punktu i dlatego tworzą z tą prostopadłą ten sam kąt [4].
  • Na rysunku mamy dwa przystające trójkąty asymptotyczne prostopadłe: i Z własności trójkątów asymptotycznych prostopadłych wynika, że jest funkcją.
  • Jeśli to Zatem funkcja jest funkcją różnowartościową[5].
  • Trójkąt NAM jest trójkątem podwójnie asymptotycznym. Kąt przy wierzchołku jest równy Pozostałe kąty zgodnie z twierdzeniem Bolyai są kątami zerowymi.
  • [6].

Zobacz też

Przypisy

  1. Słowo równoległość należy tu rozumieć w sensie Łobaczewskiego, tzn. chodzi o dwie skrajne proste wśród nieskończenie wielu prostych nie mających wspólnego punktu z prostą daną (S. Kulczycki, Geometria nieeuklidesowa, PWN, Warszawa 1956, s. 70).
  2. Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 313.
  3. Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982, s. 404.
  4. Coxeter, op. cit., s. 313.
  5. Coxeter, op. cit., s. 314–316.
  6. Математическая энциклопедия, T. 3, op. cit., s. 404.

Bibliografia

  • Kulczycki S.: Geometria nieeuklidesowa. Warszawa: PWN, 1956.
  • Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982.

Media użyte na tej stronie

The angle of Lobachevski in Poincare's model of hyperbolic geometry.svg
Autor: Januszkaja, Licencja: CC BY-SA 3.0
The angle of Lobachevski in Poincare's model of hyperbolic geometry
The angle of Lobachevski 2.svg
Autor: Januszkaja, Licencja: CC BY-SA 3.0
The angles of Lobachevski.