Kategoria abelowa

Kategoria abelowa^[1] – kategoria ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ spełniająca następujące warunki

1. Istnieje obiekt zerowy.
2. Każdy morfizm posiada jądro i kojądro.
3. Wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne.
4. Dla każdej pary obiektów istnieje produkt i koprodukt.

Często w definicji dodatkowo zakłada się, że ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ jest kategorią lewostronnie lokalnie małą. Dla kategorii abelowych założenie to jest równoważne prawostronnej lokalnej małości.

Koprodukt obiektów A i B kategorii abelowej nazywany jest zwykle sumą prostą tych obiektów i oznaczany symboem ${\displaystyle A\oplus B}$ (czasem ${\displaystyle A+B}$).

Przykłady

1. Kategoria wszystkich grup abelowych jest kategorią abelową. Obiekty są grupami abelowymi, a morfizmy – homomorfizmami takich grup.
2. Każda podkategoria zupełna kategorii abelowej zawierająca wraz z każdym morfizmem jego jądro i kojądro, a wraz z parą obiektów ich produkt i koprodukt, jest kategorią abelową.

Przypisy

Bibliografia

• Виноградов И. М. (red.): Математическая энциклопедия. T. 1. Москва: Советская энциклопедия, 1985.

Literatura dodatkowa

• Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.