Klasyczny oscylator harmoniczny

Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Klasyczny oscylator harmoniczny – realizacja modelu oscylatora harmonicznego w ramach mechaniki klasycznej.

Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym

${\displaystyle U={\frac {m\omega _{0}^{2}}{2}}\cdot x^{2},}$

bądź równoważnie jako układ, w którym działa liniowa siła ${\displaystyle F}$ proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\vec {F}}\sim -{\vec {x}}.}$

Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne

Definicja oscylatora harmonicznego

Jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym jest każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem zwanym równaniem oscylatora harmonicznego

${\displaystyle a(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=0,}$

gdzie:

${\displaystyle a(t)}$ – przyspieszenie zależne od czasu,

${\displaystyle x(t)}$ – położenie zależne od czasu,

${\displaystyle \omega _{0}}$ – częstość kołowa drgań oscylatora.

Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe równanie różniczkowe

${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x(t)=0}$

lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką

${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.}$

Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego, określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.

Rozwiązanie równania oscylatora

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci

1. ${\displaystyle x(t)=A\sin(\omega _{0}t)+B\cos(\omega _{0}t)}$
2. ${\displaystyle x(t)=C\sin(\omega _{0}t+\varphi )}$
3. ${\displaystyle x(t)=D\cos(\omega _{0}t+\varphi ')}$
4. ${\displaystyle x(t)=Fe^{i\omega _{0}t}+Ge^{-i\omega _{0}t},}$

gdzie ${\displaystyle A,B,C,\varphi ,D,\varphi ',F,G}$ to stałe zależne od warunków początkowych.

Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1, 2 lub 3.

${\displaystyle \omega _{0}}$ jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań ${\displaystyle T}$ wynosi

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}},}$

natomiast częstotliwość drgań ${\displaystyle \nu }$ wynosi

${\displaystyle \nu ={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}.}$

Lagranżjan oscylatora

Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-{\frac {m\omega _{0}^{2}q^{2}}{2}},}$

gdzie:

${\displaystyle {\dot {q}}}$ – prędkość uogólniona,

${\displaystyle q}$ – położenie uogólnione.

Reszta oznaczeń bez zmian.

Hamiltonian oscylatora harmonicznego

Hamiltonian oscylatora harmonicznego ma postać

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega _{0}^{2}q^{2}}{2}},}$

gdzie:

${\displaystyle p}$ – pęd uogólniony,

${\displaystyle q}$ – położenie uogólnione.

Przykłady oscylatorów

Wahadło matematyczne

Równanie ruchu wahadła matematycznego można zapisać w postaci

${\displaystyle ml\epsilon =-mg\sin \alpha .}$

Dla małych kątów ${\displaystyle \alpha ,\;\sin \alpha \approx \alpha ,}$ a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego

${\displaystyle {\ddot {\alpha }}+{\frac {g}{l}}\alpha =0}$

${\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}},}$

gdzie:

${\displaystyle \epsilon }$ – przyspieszenie kątowe,

${\displaystyle \alpha }$ – kąt odchylenia z położenia równowagi,

${\displaystyle l}$ – długość wahadła,

${\displaystyle g}$ – przyspieszenie ziemskie.

Ciało na sprężynie

Ciężarek o masie m na sprężynie

Ciało o masie ${\displaystyle m,}$ przymocowane do sprężyny i poruszające się bez tarcia i oporu powietrza po poziomej powierzchni, wykonuje oscylacje harmoniczne, jeżeli amplituda ruchu nie przekracza zakresu sprężystości sprężyny. Wtedy bowiem siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\vec {F}}=-k\cdot {\vec {x}}.}$

Z II zasady dynamiki Newtona można obliczyć przyspieszenie ${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.}$ Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi ${\displaystyle x,}$ otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego

${\displaystyle a(t)+{\frac {k}{m}}x(t)=0,}$

gdzie:

${\displaystyle x}$ – wychylenie ciężarka z położenia równowagi,

${\displaystyle a}$ – przyspieszenie ciężarka,

${\displaystyle m}$ – masa ciężarka,

${\displaystyle k}$ – stałą sprężystości sprężyny.

Dla ciężarka o masie ${\displaystyle m}$ wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym ${\displaystyle g}$ i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika, charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.

Oscylator harmoniczny tłumiony

W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją wyidealizowaną, gdyż w układzie fizycznym zazwyczaj występują siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. Powoduje ono wykładniczy zanik amplitudy w czasie. Równanie ruchu oscylatora tłumionego ma postać

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx}{dt}}+\omega _{o}^{2}x=0.}$

Oscylator harmoniczny wymuszony

Oscylator może być pobudzany zewnętrznymi siłami.

Stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora. Siła wymuszająca o charakterze oscylacyjnym zmienia częstość drgań oscylatora.

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=f(t),}$

gdzie:

${\displaystyle \omega _{0}}$ – częstość drgań własnych.

Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych ${\displaystyle \cos(\omega t).}$

Dlatego analizę równania można ograniczyć do

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=A\cos(\omega t),}$

gdzie:

${\displaystyle \omega }$ – częstość siły wymuszającej,

${\displaystyle A}$ – amplituda przyspieszenia (siły na jednostkę bezwładności) wymuszającego,

${\displaystyle \beta }$ – współczynnik tłumienia.

W przypadku, gdy ${\displaystyle A=0,}$ uzyskuje się równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem, a gdy dodatkowo założy się, że ${\displaystyle \beta =0,}$ równanie oscylatora prostego.

Zobacz też

• kwantowy oscylator harmoniczny
• wahadło

Mechanika klasyczna Działy Dynamika Kinematyka Mechanika nieba Mechanika ośrodków ciągłych Mechanika statystyczna Mechanika stosowana Statyka Sformułowania Formalizm Hamiltona Formalizm Lagrange’a Mechanika newtonowska Koncepcje podstawowe Bezwładność Czas Energia Energia kinetyczna Energia potencjalna Grawitacja Masa Moc Moment bezwładności Moment pędu Moment siły / Moment / Para sił Popęd Praca Praca wirtualna Przestrzeń Przyspieszenie Prędkość Pęd Siła Szybkość Układ odniesienia Zasada d’Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna Dynamika bryły sztywnej Siła Coriolisa Kinematyczne równanie ruchu Oscylator harmoniczny Nieinercjalny układ odniesienia Oś obrotu Prawo powszechnego ciążenia Przemieszczenie Przyspieszenie kątowe Prędkość kątowa Prędkość obrotowa Pulsacja Ruch Ruch harmoniczny Ruch jednostajny prostoliniowy Ruch obrotowy Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) Siła bezwładności Siła dośrodkowa Siła odśrodkowa Tarcie Tłumienie Inercjalny układ odniesienia Wahadło Wibracje Zasady dynamiki Newtona Znani uczeni Jean le Rond d’Alembert Alexis Clairaut Leonhard Euler Galileusz William Rowan Hamilton Jeremiah Horrocks Joseph Louis Lagrange Pierre Simon de Laplace Pierre Louis Maupertuis Isaac Newton Henri Poincaré Siméon Denis Poisson