Kod Prüfera

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka stopień grafu dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu – wszerz – w głąb najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem marszrutyzacji problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego kod Prüfera

Drzewo oznaczone z kodem Prüfera {4,4,4,5}.

Kod Prüfera – kod pozwalający na zapisywanie drzewa (w rozumieniu teorii grafów) w formie skompresowanego ciągu (bez wypisywania całego zbioru krawędzi) długości n-2, gdzie n stanowi liczbę wierzchołków grafu.

Wyznaczanie kodu Prüfera

Algorytm wyznaczania kodu Prüfera na podstawie opisu drzewa. Z danego drzewa o zbiorze wierzchołków opisanym jako {1,2,...,n} prowadzi do kodu Prüfera stanowiącego n-2 wyrazowy ciąg liczb ze zbioru {1,2,...,n}.

1. Jeśli w drzewie jest więcej niż jedna krawędź, szukamy w drzewie wierzchołka stopnia jeden o jak najniższym numerze ze zbioru {1,2,...,n} nazwijmy go v. Znajdujemy jedynego sąsiada tego wierzchołka, nazwijmy go w.
2. Do ciągu wyjściowego dopisujemy w, usuwamy krawędź {v,w}
3. Jeśli w drzewie została więcej niż jedna krawędź to przejść ponownie do punktu pierwszego. W przeciwnym wypadku, zapisany dotychczas ciąg jest ciągiem wyjściowym.

Uwaga: Łatwo zaobserwować, że kod Prüfera można zapisać tylko dla drzew o liczbie wierzchołków większej od 2.

Wyznaczanie drzewa z kodu Prüfera

Algorytm wyznaczania opisu grafu na podstawie kodu Prüfera. Z danego kodu Prüfera stanowiącego n-2 wyrazowy ciąg liczb (a₁,a₂,...,a_n-2) ze zbioru {1,2,...,n} prowadzi do opisu drzewa o zbiorze wierzchołków {1,2,...,n} z kodem Prüfera (a₁,a₂,...,a_n-2).

1. Tworzymy dwie listy L₁=(a₁,a₂,...,a_n-2), L₂={1,2,...,n}. Drzewo zaczynamy tworzyć od grafu o wierzchołkach {1,2,...,n} i wyłącznie trywialnych składowych (pusty zbiór krawędzi). Wyznaczmy sobie liczbę c:=1.
2. Wyznaczamy w L₂ najmniejszą wartość, która nie występuje w liście L₁ nazwijmy ją i.
3. Dodajemy do drzewa krawędź {i,a_c}. Z listy L₁, usuwamy a_c. Z listy L₂, usuwamy element i.
4. Jeśli L₁ jest niepuste to definiujemy c:=c+1 i wracamy do punktu 2. W przeciwnym wypadku L₂ zawiera jeszcze dwa elementy, nazwijmy je l₁ i l₂. Do zbioru krawędzi drzewa dodajemy krawędź {l₁,l₂} i kończymy działanie algorytmu.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Prüfer Code, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).