Kombinacja afiniczna

Kombinacja afiniczna – szczególny przypadek kombinacji liniowej w przestrzeniach liniowych, mający zastosowania przede wszystkim w przestrzeniach afinicznych, a więc i euklidesowych; z tego względu istotne w geometrii euklidesowej.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K.}$ Kombinacja afiniczna wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\in V}$ o współczynnikach ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in K}$ to wektor

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~a_{i}\mathbf {x} _{i}=a_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {x} _{n},}$

nazywany kombinacją liniową wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\in V,}$ którego suma współczynników wynosi ${\displaystyle 1,}$ czyli

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~a_{i}=1.}$

Uwagi

W szczególności przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ może być stowarzyszona z dowolną przestrzenią afiniczną ${\displaystyle A}$ (w tym także z samą przestrzenią ${\displaystyle V}$ jako przestrzenią afiniczną stowarzyszoną samą ze sobą). Nomenklatura stosowana wraz z tym pojęciem nie odbiega od opisanej w artykule opisującym kombinacje liniowe.

Kombinacja afiniczna punktów stałych przekształcenia afinicznego również jest punktem stałym, tak więc punkty stałe stanowią podprzestrzeń afiniczną (w przestrzeni trójwymiarowej: prostą lub płaszczyznę, a w przypadkach trywialnych punkt lub całą przestrzeń).

Przykłady

Płaszczyzna ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Wektor ${\displaystyle \mathbf {x} =[1,2]}$ jest kombinacją afiniczną

${\displaystyle \mathbf {x} =a_{1}\mathbf {x} _{1}+a_{2}\mathbf {x} _{2}}$

wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=[0,2]}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=[-1,2]}$ ze współczynnikami ${\displaystyle a_{1}=2,a_{2}=-1,}$ gdyż

${\displaystyle [1,2]=2[0,2]+(-1)[-1,2].}$

Ten sam wektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ jest kombinacją afiniczną ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} }$ z dowolnymi współczynnikami sumującymi się do jedności, np. powyższymi lub ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}.}$

Przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Wektor ${\displaystyle \mathbf {x} =[1,-3,2]}$ może być przedstawiony jako kombinacja afiniczna (jest to zarazem kombinacja wypukła)

${\displaystyle \mathbf {x} =a_{1}\mathbf {x} _{1}+a_{2}\mathbf {x} _{2}+a_{3}\mathbf {x} _{3}}$

wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=[1,0,2],\;\mathbf {x} _{2}=[2,4,3],\;\mathbf {x} _{3}=[0,-8,1]}$ o współczynnikach ${\displaystyle a_{1}={\tfrac {1}{2}},a_{2}={\tfrac {1}{4}},a_{3}={\tfrac {1}{4}},}$ ponieważ

${\displaystyle [1,-3,2]=[{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {0}{4}},{\tfrac {0}{2}}+{\tfrac {4}{4}}-{\tfrac {8}{4}},{\tfrac {2}{2}}+{\tfrac {4}{4}}+{\tfrac {1}{4}}]={\tfrac {1}{2}}[1,0,2]+{\tfrac {1}{4}}[2,4,3]+{\tfrac {1}{4}}[0,-8,1].}$

Zobacz też

• geometria afiniczna
• kombinacja stożkowa
• powłoka afiniczna
• powłoka wypukła
• przestrzeń afiniczna

Bibliografia

• Jean Gallier: Geometric Methods and Applications. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001. ISBN 978-0-387-95044-0. (zob. rozdział 2)