Kompleks łańcuchowy

Kompleks łańcuchowy – pojęcie występujące w matematyce w algebrze homologicznej i topologii algebraicznej.

Definicja

Kompleksem łańcuchowym ${\displaystyle (A_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ nazywamy ciąg grup abelowych (lub ogólniej, modułów) ${\displaystyle \dots ,A_{2},A_{1},A_{0},A_{-1},A_{-2},\dots }$ połączony morfizmami ${\displaystyle \partial _{n}\colon A_{n}\to A_{n-1}}$ zwanymi operatorami brzegu, spełniającymi dla każdego n tożsamość ${\displaystyle \partial _{n-1}\partial _{n}=0}$ (lub, równoważnie, ${\displaystyle \mathrm {im} \partial _{n}\subset \ker \partial _{n-1}}$).

Zapisuje się je zwykle jako:

${\displaystyle \cdots \to A_{n+1}{\xrightarrow {\partial _{n+1}}}A_{n}{\xrightarrow {\partial _{n}}}A_{n-1}{\xrightarrow {\partial _{n-1}}}A_{n-2}\to \cdots {\xrightarrow {\partial _{2}}}A_{1}{\xrightarrow {\partial _{1}}}A_{0}{\xrightarrow {\partial _{0}}}A_{-1}{\xrightarrow {\partial _{-1}}}A_{-2}{\xrightarrow {\partial _{-2}}}\cdots }$

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i ${\displaystyle \partial _{n}x}$ zapisuje się ${\displaystyle \partial x.}$

Przykłady

• Dla rodziny kompleksów łańcuchowych ${\displaystyle \{K^{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ ich sumą prostą ${\displaystyle \bigoplus \limits _{\lambda \in \Lambda }K^{\lambda }}$ jest kompleks, w którym:

${\displaystyle {\big (}\bigoplus \limits _{\lambda \in \Lambda }K^{\lambda }{\big )}_{n}=\bigoplus \limits _{\lambda \in \Lambda }K_{n}^{\lambda },}$

${\displaystyle \partial \{c^{\lambda }\}=\{\partial c^{\lambda }\}.}$

Homologie

Kompleksy łańcuchowe służą zwykle zdefiniowaniu homologii. Dla kompleksu ${\displaystyle (A_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ i każdego ${\displaystyle n}$ określamy grupy

${\displaystyle Z_{n}(A)=\ker \partial _{n}\quad B_{n}(A)=\mathrm {im} \partial _{n+1},}$

które nazywamy, odpowiednio, grupami n-wymiarowych cykli i brzegów kompleksu ${\displaystyle (A_{\bullet },\partial _{\bullet }).}$ Z definicji kompleksu mamy ${\displaystyle B_{n}(A)\subset Z_{n}(A),}$ dzięki czemu możemy określić n-tą grupę homologii kompleksu ${\displaystyle (A_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ jako:

${\displaystyle H_{n}(A)=Z_{n}(A)/B_{n}(A).}$

Elementy tej grupy nazywamy n-wymiarowymi klasami homologicznymi. Klasy homologiczne to klasy równoważności cykli, przy czym dwa cykle ${\displaystyle z_{n},z'_{n}\in Z_{n}(A)}$ są równoważne (inaczej homologiczne), jeśli ich różnica jest brzegiem ${\displaystyle z_{n}-z'_{n}\in B_{n}(A).}$ Homologiczną klasę cyklu ${\displaystyle z}$ oznaczamy przez ${\displaystyle [z].}$

Przekształcenia łańcuchowe

Przekształceniem łańcuchowym ${\displaystyle f_{\bullet }}$ między kompleksami ${\displaystyle (A_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ a ${\displaystyle (B_{\bullet },\partial '_{\bullet })}$ nazywamy ciąg morfizmów ${\displaystyle f_{n}\colon A_{n}\to B_{n}}$ komutujących z operatorami brzegu, tj. spełniających dla każdego ${\displaystyle n}$ zależność

${\displaystyle \partial '_{n}f_{n}=f_{n-1}\partial _{n}.}$

Z tej własności wynika, że przekształcenia łańcuchowe przeprowadzają cykle na cykle i brzegi na brzegi, zatem indukują homomorfizmy na poziomie grup homologii: ${\displaystyle H_{n}f\colon H_{n}(A)\to H_{n}(B).}$

Złożenie dwóch przekształceń łańcuchowych ${\displaystyle f_{\bullet }:A_{\bullet }\to B_{\bullet }}$ i ${\displaystyle g_{\bullet }:B_{\bullet }\to C_{\bullet }}$ zdefiniowane jako ${\displaystyle (gf)_{n}=g_{n}f_{n}}$ jest również przekształceniem łańcuchowym ${\displaystyle (gf)_{\bullet }:A_{\bullet }\to C_{\bullet }.}$ Dlatego kompleksy i odwzorowania łańcuchowe tworzą kategorię oznaczaną ${\displaystyle \partial {\mathcal {AG}}}$^[1].

Homologie definiują funktor

${\displaystyle H:\partial {\mathcal {AG}}\to {\mathcal {AG}},}$

bo ${\displaystyle H_{n}(ff')=H_{n}(f)H_{n}(f')}$ i ${\displaystyle H_{n}(id_{K})=id_{H_{n}K}.}$

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i zamiast ${\displaystyle f_{n}x}$ zapisuje się ${\displaystyle fx,}$ a funktor ${\displaystyle H_{n}f}$ – jako ${\displaystyle f_{*}}$ (związki funktorialności zapisuje się wtedy w postaci ${\displaystyle (ff')_{*}=f_{*}f'_{*}}$ i ${\displaystyle id_{*}=id}$).

Przykłady

• Stożkiem przekształcenia łańcuchowego ${\displaystyle f_{\bullet }:K_{\bullet }\to L_{\bullet }}$ nazywamy kompleks łańcuchowy ${\displaystyle Cf_{\bullet },}$ w którym:

${\displaystyle (Cf)_{n}=L_{n}\oplus K_{n-1},}$

${\displaystyle \partial ^{Cf}(y,x)=(\partial ^{L}y+fx,-\partial ^{K}x),}$ gdzie ${\displaystyle (y,x)\in Cf.}$

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu ${\displaystyle K}$ przez odcinek jednostkowy ${\displaystyle K\times I,}$ gdzie ${\displaystyle I=\langle 0;1\rangle }$ ściągamy do punktu podstawę iloczynu ${\displaystyle K\times \{0\},}$ a drugą podstawę ${\displaystyle K\times \{1\}}$ doklejamy do wielościanu ${\displaystyle L}$ za pomocą przekształcenia ${\displaystyle f:K\to L,}$ co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów ${\displaystyle (X\times I)\sqcup Y}$ przez relacje ${\displaystyle (x,0)\sim (x',0)}$ i ${\displaystyle (x,1)\sim f(x)}$ dla dowolnych ${\displaystyle x,x'\in X.}$

• Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego ${\displaystyle id_{\bullet }:K_{\bullet }\to K_{\bullet }}$ nazywa się stożkiem nad kompleksem ${\displaystyle K_{\bullet }}$ i oznacza się go ${\displaystyle CK_{\bullet }.}$

Zawieszenie okręgu (niebieski). Ściagnięte do punktu podstawy iloczynu są zielone.

• Jeśli ${\displaystyle L_{\bullet }=0,}$ to kompleks ${\displaystyle Cf_{\bullet }}$ jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez ${\displaystyle K_{\bullet }^{+}.}$ W kompleksie tym:

${\displaystyle (K^{+})_{n}=K_{n-1},}$

${\displaystyle \partial ^{K^{+}}=-\partial ^{K}.}$

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu ${\displaystyle K\times I}$ poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: ${\displaystyle (x,0)\sim (x',0)}$ i ${\displaystyle (x,1)\sim (x',1)}$ dla dowolnych ${\displaystyle x,x'\in X}$^[2].

Homotopie łańcuchowe

Mając dane dwa przekształcenia łańcuchowe ${\displaystyle f=(f_{n})_{n\in \mathbb {N} },g=(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ między kompleksami ${\displaystyle (A_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ a ${\displaystyle (B_{\bullet },\partial '_{\bullet }),}$ powiemy, że ciąg morfizmów ${\displaystyle P_{n}\colon A_{n}\to B_{n+1}}$ jest homotopią łańcuchową między ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g,}$ jeżeli spełniona jest zależność

${\displaystyle \partial '_{n+1}P_{n}+P_{n-1}\partial _{n}=f_{n}-g_{n}.}$

Homotopijne łańcuchowo przekształcenia łańcuchowe indukują ten sam morfizm na homologiach – istotnie, jeżeli ${\displaystyle \alpha \in A_{n}}$ jest cyklem, to mamy:

${\displaystyle f_{n}(\alpha )-g_{n}(\alpha )=\partial '_{n+1}P_{n}(\alpha )+P_{n-1}\partial _{n}(\alpha )=\partial '_{n+1}P_{n}(\alpha ),}$

gdyż ${\displaystyle P_{n-1}\partial _{n}(\alpha )=P_{n-1}(0)=0,}$ bo ${\displaystyle \alpha }$ jest cyklem. Stąd ${\displaystyle f_{n}(\alpha )-g_{n}(\alpha )}$ jest brzegiem, zatem po przejściu do grup homologii ta różnica jest zerem.

Ciągi dokładne kompleksów łańcuchowych

Krótkim ciągiem dokładnym kompleksów łańcuchowych ${\displaystyle A_{\bullet },B_{\bullet },C_{\bullet }}$ nazwiemy przekształcenia łańcuchowe ${\displaystyle f_{\bullet }=(f_{n})_{n\in \mathbb {N} },g_{\bullet }=(g_{n})_{n\in \mathbb {N} },}$ takie, że dla każdego ${\displaystyle n,}$ następujący ciąg jest dokładny:

${\displaystyle 0\to A_{n}{\xrightarrow {f_{n}}}B_{n}{\xrightarrow {g_{n}}}C_{n}\to 0.}$

Znanym faktem z algebry homologicznej jest to, że każdy krótki ciąg dokładny kompleksów łańcuchowych można „wyprostować” do długiego ciągu dokładnego grup homologii:

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(C){\xrightarrow {\partial '_{n+1}}}H_{n}(A){\xrightarrow {f_{n}}}H_{n}(B){\xrightarrow {g_{n}}}H_{n}(C){\xrightarrow {\partial '_{n}}}H_{n-1}(A)\to \dots ,}$

gdzie ${\displaystyle \partial '_{\bullet }}$ są naturalne. Istnienie przekształceń ${\displaystyle \partial '_{\bullet }}$ można wykazać, stosując np. lemat o wężu do odpowiedniego diagramu. Zobacz też Ciąg Mayersa-Vietorisa.

Przykłady kompleksów łańcuchowych

W topologii algebraicznej występuje szereg kompleksów łańcuchowych.

Singularny kompleks łańcuchowy

Mając dowolną przestrzeń topologiczną ${\displaystyle X}$ możemy zbudować kompleks łańcuchowych w następujący sposób:

Niech ${\displaystyle C_{n}(X)}$ będzie wolną grupą abelową, której zbiorem generatorów jest zbiór wszystkich ciągłych przekształceń ${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to X}$ z n-sympleksu w ${\displaystyle X.}$ Określmy operator brzegu przez

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |[v_{0},v_{1},\dots ,{\hat {v_{i}}},\dots ,v_{n}],}$

gdzie ${\displaystyle [v_{0},v_{1},\dots ,v_{n}]}$ oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach ${\displaystyle v_{0},v_{1},\dots ,v_{n},}$ a ${\displaystyle {\hat {v_{i}}}}$ oznacza, że ten wierzchołek opuszczamy.

Proste przekształcenia pozwalają stwierdzić, że istotnie ${\displaystyle \partial _{n-1}\partial _{n}=0,}$ co dowodzi, że ${\displaystyle (C(X),\partial )}$ jest kompleksem łańcuchowym. Pozwala nam rozpatrywać homologie ${\displaystyle H_{n}(X)}$ tego kompleksu, zwane grupami homologii singularnych przestrzeni ${\displaystyle X.}$

Kompleksy kołańcuchowe

Jak wiele innych konstrukcji w algebrze, tak również kompleksy łańcuchowe poddają się procesowi dualizacji. Mówimy wtedy o kompleksach kołańcuchowych. Formalna definicja jest niemal identyczna jak w przypadku kompleksów łańcuchowych, z tą tylko różnicą, że operatory brzegu ${\displaystyle \partial _{n}\colon A_{n}\to A_{n+1}}$ podnoszą, zamiast obniżać, stopień. Również w tym wypadku, dwukrotne zastosowanie operatora brzegu ma dawać zero. Kompleks kołańcuchowy wygląda następująco:

${\displaystyle \cdots \to A_{n+1}{\xleftarrow {\partial _{n}}}A_{n}{\xleftarrow {\partial _{n-1}}}A_{n-1}{\xleftarrow {\partial _{n-2}}}A_{n-2}\to \cdots {\xleftarrow {\partial _{1}}}A_{1}{\xleftarrow {\partial _{0}}}A_{0}{\xleftarrow {\partial _{-1}}}A_{-1}{\xleftarrow {\partial _{-2}}}A_{-2}{\xleftarrow {\partial _{-3}}}\cdots }$

Podobnie definiujemy wówczas grupy kohomologii, przekształcenia kołańcuchowe itd.

Przypisy

Bibliografia

• Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
• Albrecht Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972, seria: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaft.
• Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.