Komutator (matematyka)

Komutator – wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą^[1].

Teoria grup

Komutator dwóch elementów ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle h}$ należących do grupy ${\displaystyle G}$ to element

${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh.}$

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle h}$ komutują (czyli są przemienne, tzn. ${\displaystyle gh=hg}$). Podgrupa grupy ${\displaystyle G}$ generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy ${\displaystyle G.}$ Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga

Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}.}$

Tożsamości

W tej sekcji wyrażenie ${\displaystyle g^{x}}$ oznacza sprzężony (przez ${\displaystyle x}$) element ${\displaystyle x^{-1}gx.}$

• ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}$
• ${\displaystyle \left[[x,y^{-1}],z\right]^{y}\cdot \left[[y,z^{-1}],x\right]^{z}\cdot \left[[z,x^{-1}],y\right]^{x}=1.}$
• ${\displaystyle [xy,z]=[x,z]^{y}\cdot [y,z].}$
• ${\displaystyle [x,yz]=[x,z]\cdot [x,y]^{z}.}$

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga

Powyższa definicja sprzężenia ${\displaystyle g}$ przez ${\displaystyle x}$ używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie ${\displaystyle g}$ przez ${\displaystyle x}$ jako ${\displaystyle xgx^{-1},}$ zwykle zapisuje się to jako ${\displaystyle {}^{x}g.}$

Teoria pierścieni

Komutator dwóch elementów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są przemienne (komutują). W algebrze liniowej, jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

Tożsamości

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

• ${\displaystyle [A,A]=0,}$
• ${\displaystyle [A,B]=-[B,A],}$
• ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.}$

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

• ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C],}$
• ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B,}$
• ${\displaystyle [A,BC]=[AB,C]+[CA,B],}$
• ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC,}$
• ${\displaystyle [[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]=[[A,C],[B,D]].}$

Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest ustalonym elementem pierścienia ${\displaystyle {\mathfrak {R}},}$ pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania ${\displaystyle D_{A}\colon R\to R}$ danego wzorem ${\displaystyle B\mapsto [A,B].}$ Innymi słowy, odwzorowanie ${\displaystyle D_{A}}$ definiuje różniczkowanie w pierścieniu ${\displaystyle {\mathfrak {R}}.}$

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Campbella-Hausdorffa:

• ${\displaystyle e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\tfrac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\tfrac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\dots }$

Przykład

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy ${\displaystyle \operatorname {d} ,}$ który przekształca funkcję w jej pochodną oraz ${\displaystyle \operatorname {x} ,}$ który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej ${\displaystyle F}$ przebiega jak następuje:

• ${\displaystyle \operatorname {d} (\operatorname {x} F)=\operatorname {dx} F+\operatorname {xd} F=F+\operatorname {xd} F,}$ ponieważ ${\displaystyle \operatorname {dx} =1,}$
• ${\displaystyle \operatorname {x} (\operatorname {d} F)=\operatorname {xd} F.}$

Odjęcie tych równań stronami daje:

${\displaystyle \operatorname {d} (\operatorname {x} F)-\operatorname {x} (\operatorname {d} F)=F+\operatorname {xd} F-\operatorname {xd} F,}$

${\displaystyle \operatorname {d} (\operatorname {x} F)-\operatorname {x} (\operatorname {d} F)=F.}$

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez ${\displaystyle F}$ jest

${\displaystyle (\operatorname {dx} -\operatorname {xd} )F=F,}$

${\displaystyle (\operatorname {dx} -\operatorname {xd} )=1,}$ czyli ${\displaystyle [\operatorname {d} ,\operatorname {x} ]=1.}$

Stąd wynik zastosowania obu operatorów ${\displaystyle \operatorname {d} }$ i ${\displaystyle \operatorname {x} }$ na funkcję ${\displaystyle F}$ zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

Pierścienie i algebry z gradacją

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako ${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

Różniczkowania

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].}$

Wówczas ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ jest różniczkowaniem, a ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ jest liniowe, np. ${\displaystyle \operatorname {ad} (x+y)=\operatorname {ad} (x)+\operatorname {ad} (y)}$ oraz ${\displaystyle \operatorname {ad} (\lambda x)=\lambda \operatorname {ad} (x)}$ i homomorfizmem algebry Liego, np. ${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)],}$ ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość ${\displaystyle \operatorname {ad} (xy)=\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y)}$ w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

• ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (x)(y)=\left[x,[x,y]\right].}$
• ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (a+b)(y)=\left[x,[a+b,y]\right].}$

Komutator w fizyce

Komutator jest często używany w fizyce kwantowej:

• W mechanice kwantowej procedura kwantowania kanonicznego polega na zastąpieniu nawiasów Poissona komutatorami, tzn. ${\displaystyle [\operatorname {X} ,\operatorname {P} ]=\operatorname {XP} -\operatorname {PX} =i\hbar ,}$ gdzie ${\displaystyle \operatorname {X} }$ oraz ${\displaystyle \operatorname {P} }$ stają się operatorami w przestrzeni Hilberta. Konsekwencją wprowadzenia takich reguł komutacyjnych jest zasada nieoznaczoności Heisenberga.
• W procedurze drugiej kwantyzacji (stosowanej dla układów wielu cząstek) wprowadzane są operatory kreacji i anihilacji cząstek, które w przypadku bozonów spełniają reguły komutacji, a fermionów antykomutacji.
• W definicjach funkcji Greena stosowane są komutatory dla bozonów oraz antykomutatory dla fermionów.

Antykomutator

Antykomutator ${\displaystyle \{a,b\}}$ lub ${\displaystyle [a,b]_{+}}$ definiowany jest jako ${\displaystyle [a,b]_{+}=ab+ba.}$ Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus ${\displaystyle [a,b]_{-}.}$

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermionach). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, co związane jest z zakazem Pauliego mówiącym, że dany stan nie może być obsadzony przez dwie różne cząstki, tzn. ${\displaystyle [{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]_{+}=0={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }.}$

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\pm }}$ odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

Zobacz też

• antyprzemienność
• algebra różniczkowa
• pochodna Pincherlego
• nawias Poissona
• kanoniczna relacja komutacji
• mechanika kwantowa

Przypisy

Bibliografia

• David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics. Wyd. drugie. Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L.: Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5.