Konstrukcja Kochańskiego

Wzorowana na oryginalnym rysunku Kochańskiego z Acta Eruditorum ilustracja jego przybliżonej rektyfikacji okręgu

Konstrukcja Kochańskiego – przybliżona metoda rektyfikacji okręgu, czyli wykreślenia odcinka o długości równej połowie obwodu danego okręgu zaproponowana w 1685 roku przez polskiego matematyka Adama Adamandego Kochańskiego^[1]. Pozwala na przybliżone wykreślenie odcinka ${\displaystyle \pi }$ razy dłuższego niż dany odcinek.

Opis konstrukcji

• Kreślimy okrąg o środku w punkcie ${\displaystyle P_{1}}$ i promieniu ${\displaystyle r.}$
• Kreślimy średnicę okręgu ${\displaystyle {\overline {P_{2}P_{3}}}.}$
• Kreślimy styczną do okręgu w punkcie ${\displaystyle P_{2}.}$
• Kreślimy okrąg (łuk okręgu) o środku w punkcie ${\displaystyle P_{2}}$ i promieniu ${\displaystyle r.}$ Punkt przecięcia (jeden z dwóch możliwych) oznaczamy jako ${\displaystyle P_{4}.}$
• Kreślimy okrąg (lub łuk okręgu) o środku w punkcie ${\displaystyle P_{4}}$ i promieniu ${\displaystyle r.}$ Punkt przecięcia okręgów o środkach ${\displaystyle P_{2}}$ i ${\displaystyle P_{4}}$ różny od punktu ${\displaystyle P_{1}}$ oznaczamy jako ${\displaystyle P_{5}.}$ Punkty ${\displaystyle P_{1}}$ i ${\displaystyle P_{5}}$ wyznaczają symetralną odcinka ${\displaystyle {\overline {P_{2}P_{4}}}.}$
• Punkt przecięcia ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{5}}}}$ ze styczną do okręgu w punkcie ${\displaystyle P_{2}}$ oznaczamy jako ${\displaystyle P_{6}.}$
• Na tej prostej (na stycznej ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{6}}$) odkładamy 3-krotnie odcinki długości ${\displaystyle r}$ z punktu ${\displaystyle P_{6}}$ w stronę punktu ${\displaystyle P_{2}}$ uzyskując kolejno punkty ${\displaystyle P_{7},}$ ${\displaystyle P_{8},}$ ${\displaystyle P_{9}.}$
• Odcinek ${\displaystyle {\overline {P_{3}P_{9}}}}$ ma długość w przybliżeniu równą ${\displaystyle \pi r}$

${\displaystyle |P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3{,}141\,533\,338\,7\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.}$

Odcinek ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{5}}}}$ jest przedłużeniem wysokości trójkąta równobocznego ${\displaystyle {P_{1}}{P_{4}}{P_{2}},}$ co oznacza, że tworzy on kąt 30° z odcinkiem ${\displaystyle {\overline {P_{2}P_{3}}}}$^[2].

Oszacowanie błędu względnego

${\displaystyle \left|\pi -{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\right|\approx 0{,}000\,059\,314\,884\,7.}$

Zatem błąd pojawia się dopiero na piątym miejscu po przecinku. Takie przybliżenie zwykle w praktycznych zastosowaniach jest wystarczające.

Kwadratura koła oparta na konstrukcji Kochańskiego

Na podstawie konstrukcji Kochańskiego możliwa jest również przybliżona kwadratura koła. Ilustruje to poniższy rysunek.

Przypisy