Konstrukcje klasyczne

Cyrkiel i linijka – narzędzia do konstrukcji klasycznych

Konstrukcje klasyczne, konstrukcje platońskie[1], konstrukcje przy użyciu cyrkla i liniału – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki (liniału).

Zasady konstrukcji

Możliwe operacje przy konstrukcjach klasycznych: u góry (na czerwono) argumenty operacji, na dole (na czerwono) wynik operacji.

Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Poza tym mając dane:

  • dwie proste,
  • prostą i okrąg,
  • dwa okręgi,

można znaleźć ich punkty wspólne lub stwierdzić, że ich nie ma. Inne czynności są niedozwolone.

Słynne problemy starożytności

Kwadratura koła

Trzy słynne problemy starożytnej matematyki greckiej: trysekcja kąta (podział danego kąta na trzy równe części), podwojenie sześcianu (wyznaczenie krawędzi sześcianu o objętości dwa razy większej niż sześcian dany) i kwadratura koła (konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła) nie mogą być rozwiązane przy pomocy cyrkla i linijki[1], ale dowód tego podany został dopiero w roku 1837 przez Pierre’a Wantzela i jest wnioskiem z twierdzenia noszącego dziś jego imię. Konstrukcje te mogą być jednak rozwiązane w przybliżeniu z dowolną założoną dokładnością. Podejmowano również próby zrealizowania innych niewykonywalnych konstrukcji, np. siedmiokąta foremnego czy powiązanej z kwadraturą koła rektyfikacji okręgu (konstrukcji odcinka o długości równej obwodowi danego okręgu).

Konstrukcje samą linijką

Jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem (twierdzenie Ponceleta-Steinera)[2].

Konstrukcje samym cyrklem

Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominie rysowanie linii (twierdzenie Mohra-Mascheroniego)[1].

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Media użyte na tej stronie

Cyrkiel i linijka (PL).png
Autor: (Tekst oryginalny: „Mcgill Mcgill), Licencja: CC BY-SA 3.0
geometry
Squaring the circle.svg
Illustrates the dimensions required for squaring a unit circle, which would require a square with side lengths equal to the squareroot of pi. Plynn9 authored it to improve the current illustration in the "Squaring the Circle" wikipedia article, which lacks dimensions. I made a vector version of the image.