Konwencja sumacyjna Einsteina

Konwencja sumacyjna Einsteina – skrótowy sposób zapisu równań polegający na pomijaniu znaków sumy we wzorach. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu.

Zasady konwencji

Jeżeli mamy sumowanie po jakimś indeksie, a indeks przebiega wszystkie swoje dozwolone wartości i występuje w sumowaniu dwa razy: raz jako wskaźnik górny, a raz dolny, to znak sumowania pomijamy.

Indeks (wskaźnik) sumacyjny nazywamy w takim wypadku wskaźnikiem niemym^[1].

Przykłady

• ${\displaystyle \sum _{j=0}^{3}g_{ij}A^{j}=g_{ij}A^{j}}$ – indeksem sumacyjnym (niemym) jest wskaźnik ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{3}\sum _{\lambda =0}^{3}\sum _{\delta =0}^{3}\Gamma _{\ \nu \ \delta }^{\mu \ \lambda }b^{\nu }c_{\lambda }d^{\delta }=\Gamma _{\ \nu \ \delta }^{\mu \ \lambda }b^{\nu }c_{\lambda }d^{\delta }}$ – indeksy nieme to ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \lambda }$ i ${\displaystyle \delta ;}$ normalnym wskaźnikiem jest ${\displaystyle \mu }$
• iloczyn macierzy

  ${\displaystyle (A\cdot B)_{i}^{k}=\sum _{j}A_{ij}B^{jk}=A_{ij}B^{jk}}$

• iloczyn skalarny wektorów

  ${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}a^{i}b^{j}=g_{ij}a^{i}b^{j}}$

  gdzie ${\displaystyle g_{ij}}$ – składowe kowariantnego tensora metrycznego

• wartość formy liniowej na wektorze

  ${\displaystyle \mathbf {f\cdot b} =\sum _{i}f_{i}b^{i}=f_{i}b^{i}}$

• mnożenie wektora przez macierz

  ${\displaystyle \mathbf {A\cdot b} =\sum _{j}A_{j}^{i}b^{j}=A_{j}^{i}b^{j}}$

• dywergencja pola wektorowego

  ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {a} =\sum _{i}\partial _{i}a^{i}=\partial _{i}a^{i}}$

Zobacz też

• konwencje w teoriach relatywistycznych
• iloczyn tensorowy
• działania określone po składowych

Przypisy

Bibliografia

• P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
• John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Einstein Summation, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.).