Kostka Cantora

Kostka kantora w trójwymiarze

Kostka Cantora (ciężaru ${\displaystyle \kappa ,}$ gdzie ${\displaystyle \kappa }$ jest nieskończoną liczbą kardynalną) – przestrzeń produktowa ${\displaystyle \kappa }$ kopii zbioru ${\displaystyle \{0,1\}}$ z topologią dyskretną. Kostka Cantora ciężaru ${\displaystyle \kappa }$ oznacza jest zwykle symbolem ${\displaystyle D^{\kappa }}$ – dokładniej:

${\displaystyle D^{\kappa }=\prod _{s\in S}D_{s},}$

gdzie ${\displaystyle S}$ jest dowolnym zbiorem mocy ${\displaystyle \kappa }$ oraz dla każdego ${\displaystyle s\in S}$ zbiór ${\displaystyle D_{s}}$ jest dwuelementową przestrzenią dyskretną, np. ${\displaystyle D_{s}=\{0,1\}.}$

Dla ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}$ przestrzeń ${\displaystyle D^{\kappa }}$ nazywamy zbiorem Cantora.

Własności

• Ciężar kostki ${\displaystyle D^{\kappa }}$ wynosi ${\displaystyle \kappa }$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa .}$
• Kostka Cantora jest ciągowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ciężar jest przeliczalny.
• Kostka Cantora ${\displaystyle D^{\kappa }}$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zerowymiarowych o ciężarze ${\displaystyle \kappa \geqslant \aleph _{0}.}$
• Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa o ciężarze ${\displaystyle \kappa \geqslant \aleph _{0}}$ jest ciągłym obrazem domkniętej podprzestrzeni kostki Cantora ${\displaystyle D^{\kappa }.}$

Przestrzenie diadyczne

Przestrzeń Hausdorffa, która jest ciągłym obrazem kostki Cantora nazywana jest przestrzenią diadyczną.

• Nikołaj Szanin udowodnił, że jeżeli X jest nieskończoną przestrzenią diadyczną, to najmniejszą liczbą kardynalną ${\displaystyle \kappa }$ dla której X jest obrazem kostki Cantora ciężaru ${\displaystyle \kappa }$ jest ciężar przestrzeni X, tzn. ${\displaystyle \kappa =w(X)}$^[1].
• Każda przestrzeń diadyczna ciężaru ${\displaystyle \kappa }$ zawiera podprzestrzeń diadyczną dowolnego mniejszego ciężaru^[2].

Zobacz też

• kostka Aleksandrowa
• kostka Tichonowa

Przypisy