Kostka Tichonowa

Kostka Tichonowa – konstrukcja mnogościowa w topologii, będąca przykładem przestrzeni uniwersalnej dla przestrzeni Tichonowa i przestrzeni zwartych.

Definicja

Kostką Tichonowa ${\displaystyle I^{\kappa }}$ ciężaru ${\displaystyle \kappa ,}$ gdzie ${\displaystyle \kappa }$ jest nieskończoną liczbą kardynalną, nazywa się przestrzeń produktową

${\displaystyle \prod _{s\in S}I_{s},}$

gdzie ${\displaystyle I_{s}=[0,1]}$ dla każdego elementu ${\displaystyle s}$ zbioru ${\displaystyle S}$ (${\displaystyle S}$ jest zbiorem mocy ${\displaystyle \kappa }$).

Kostka ${\displaystyle I^{\aleph _{0}}}$ z metryką

${\displaystyle \varrho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|x_{n}-y_{n}|}{2^{n}}},\qquad {\big (}x=(x_{n})_{n=1}^{\infty },\;y=(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \,[0,1]^{\aleph _{0}}{\big )}}$

nazywana jest kostką Hilberta^[1]. Metryka ${\displaystyle \varrho }$ wyznacza topologię w zbiorze ${\displaystyle I^{\aleph _{0}}}$ identyczną z topologią Tichonowa (tj. wyjściową topologią kostki Tichonowa ciężaru ${\displaystyle \aleph _{0}}$).

Własności

• Kostka Tichonowa ciężaru ${\displaystyle \kappa }$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni Tichonowa o nieskończonym ciężarze ${\displaystyle \kappa .}$
• Kostka Tichonowa ciężaru ${\displaystyle \kappa }$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zwartych o nieskończonym ciężarze ${\displaystyle \kappa .}$
• Z twierdzenia Tichonowa wynika, że każda kostka Tichonowa jest zwarta.
• Topologia wyznaczona przez metrykę w kostce Hilberta pokrywa się z jej topologią Tichonowa.
• Inne twierdzenie Tichonowa stwierdza, że każda przestrzeń Tichonowa jest homeomorficzna z podprzestrzenią kostki Tichonowa o ciężarze równym ciężarowi tej przestrzeni.
• Kostka Tichonowa (nieskończonego) ciężaru ${\displaystyle \kappa }$ jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}.}$

Zobacz też

• kostka Aleksandrowa
• kostka Cantora

Przypisy

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.