Kowariancja

Kowariancja, ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$ – liczba określająca odchylenie elementów od sytuacji idealnej, w której występuje zależność liniowa. Zależność tę określa się między zmiennymi losowymi ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y.}$

Definicja

Matematycznie kowariancję definiuje się wzorem:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} {\big [}(X-\mathrm {E} X)\cdot (Y-\mathrm {E} Y){\big ]}.}$

Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} (X\cdot Y)-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y,}$

gdzie:

${\displaystyle \mathrm {E} }$ – wartość oczekiwana.

Interpretacja

Jeżeli między zmiennymi losowymi ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa i istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0 (nie musi to być prawda dla kowariancji w próbie losowej z tych zmiennych).

Innymi słowy: zmienne losowe ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są niezależne, a więc

${\displaystyle \mathrm {E} (X\cdot Y)=\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y,}$

zatem:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} (X\cdot Y)-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y=\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y=0.}$

Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.

Na przykład jeśli zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny na przedziale ${\displaystyle [0,2\pi ],}$ a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:

${\displaystyle X=\sin Z,}$

${\displaystyle Y=\cos Z,}$

to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=0.}$

Związek ze współczynnikiem korelacji liniowej

Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {corr} (X,Y)\sigma _{X}\sigma _{Y},}$

gdzie:

${\displaystyle \operatorname {corr} (X,Y)}$ – współczynnik korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y,}$

${\displaystyle \sigma _{X}}$ – odchylenie standardowe zmiennej ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \sigma _{Y}}$ – odchylenie standardowe zmiennej ${\displaystyle Y.}$

Zobacz też

• korelacja
• kowariancja i kontrawariancja
• macierz kowariancji
• wariancja