Krakowian

Krakowian – tablica zastępująca macierz w obliczeniach ręcznych zaproponowana przez Tadeusza Banachiewicza. Ma inaczej zdefiniowane mnożenie, w krakowianach mnoży się przez siebie kolumny, dzięki temu do wykrywania błędów obliczeń można stosować sumy kontrolne. Zastosowanie krakowianów upraszcza wiele wzorów i obliczeń numerycznych.

Wygodny przy obliczeniach ręcznych i korzystaniu z pamięci sekwencyjnej komputerów. Właściwość tę wykorzystywał wczesny komputer PARK z 1957 r.

Iloczyn krakowianów

Główna różnica w stosunku do macierzy. Iloczynem następujących krakowianów

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,p}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,p}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,p}\end{Bmatrix}}}$   i   ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,n}\\b_{2,1}&\cdots &b_{2,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m,1}&\cdots &b_{m,n}\end{Bmatrix}}}$

mających tę samą liczbę wierszy jest krakowian

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}c_{1,1}&\cdots &c_{1,p}\\c_{2,1}&\cdots &c_{2,p}\\\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n,1}&\cdots &c_{n,p}\end{Bmatrix}}}$

gdzie:

${\displaystyle c_{k,l}=a_{1,l}b_{1,k}+a_{2,l}b_{2,k}+\cdots +a_{m,l}b_{m,k}.}$

Przykładowo:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}a&b\\c&d\end{Bmatrix}}\cdot {\begin{Bmatrix}e&f\\g&h\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}ae+cg&be+dg\\af+ch&bf+dh\end{Bmatrix}}}$

Mnożenie krakowianów:

• nie jest przemienne, czyli ${\displaystyle AB\neq BA,}$
• nie jest łączne, czyli ${\displaystyle A(BC)\neq (AB)C.}$

Szczegółowe informacje

• Wacław Sierpiński, Zasady algebry wyższej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1946, s. 76–80 (plik pdf).