Krata podgrup

Krata podgrup grupy diedralnej ${\displaystyle D_{4}.}$

Krata podgrup – krata złożona z podgrup danej grupy uporządkowana za pomocą zawierania; kresami dolnym i górnym są odpowiednio iloczyn mnogościowy oraz grupa generowana przez sumę mnogościową podgrup (w przypadku grup abelowych za kres górny przyjmuje się iloczyn kompleksowy).

Przykład

Grupa diedralna ${\displaystyle D_{4}}$ izometrii kwadratu zawiera dziesięć podgrup wliczając w to nią samą i podgrupę trywialną; kratę przedstawiono na rysunku obok – na dole znajduje się podgrupa trywialna, wyżej pięć podgrup rzędu ${\displaystyle 2}$ generowanych odpowiednio (na rysunku od lewej do prawej) poprzez symetrię względem osi pionowej, poziomej, obrót o kąt prosty i dwa odbicia o osiach zawierających przekątne kwadratu; wyżej znajdują się trzy grupy, każda z nich zawierająca cztery elementy (w tym w środku grupa cykliczna obrotów); na samym szczycie znajduje się podgrupa niewłaściwa.