Kryterium Abela

Kryterium Abela – warunek wystarczający zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego postaci

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)g_{n}(x).}$

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Nielsa Abela.

Kryterium

Niech ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ i ${\displaystyle (g_{n})_{n=1}^{\infty }}$ będą ciągami funkcji skalarnych określonych na wspólnej dziedzinie ${\displaystyle A.}$

Jeśli

• szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }g_{n}(x)}$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze ${\displaystyle A;}$

• dla każdego ${\displaystyle x}$ ze zbioru ${\displaystyle A}$ ciąg ${\displaystyle (f_{n}(x))_{n=1}^{\infty }}$ jest monotoniczny;
• istnieje taka liczba ${\displaystyle M,}$ że dla prawie każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ oraz wszystkich elementów ${\displaystyle x}$ zbioru ${\displaystyle A}$ spełniony jest warunek

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant M,}$

to szereg funkcyjny

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)g_{n}(x)}$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze ${\displaystyle A.}$

Szczególnym przypadkiem powyższego kryterium jest kryterium Abela dla szeregów liczbowym (tj. przypadek, gdy ${\displaystyle A}$ jest zbiorem jednoelementowym).

Kryterium Abela dla szeregów liczbowych

Niech ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty },(b_{n})_{n=1}^{\infty }}$ będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg liczbowy

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

jest zbieżny, a ciąg ${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }}$ jest monotoniczny i ograniczony, to szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

jest zbieżny.

Zobacz też

• kryteria zbieżności szeregów
• kryterium Dirichleta
• kryterium Weierstrassa
• zbieżność punktowa
• zbieżność monotoniczna

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 370.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 184–185.