Kryterium Weierstrassa

Kryterium Weierstrassa – twierdzenie będące warunkiem wystarczającym zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Karla Weierstrassa. Kryterium to mówi, że jeżeli ${\displaystyle (f_{n})}$ jest ciągiem funkcji określonych na dowolnym zbiorze ${\displaystyle A}$ o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ istnieje taka liczba ${\displaystyle M_{n},}$ że

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant M_{n}}$

dla każdego elementu ${\displaystyle x}$ zbioru ${\displaystyle A,}$ oraz szereg liczbowy

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$

jest zbieżny, to szereg funkcyjny

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

jest zbieżny jednostajnie w ${\displaystyle A.}$ Ciąg ${\displaystyle (M_{n})}$ nazywany jest majorantą ciągu funkcyjnego ${\displaystyle (f_{n}).}$ Kryterium pozostaje prawdziwe dla ciągów funkcyjnych o wartościach w przestrzeniach Banacha.

Dowód

Niech ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Skoro szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$

jest zbieżny, to istnieje taka liczba ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,}$ że dla każdego ${\displaystyle k>N}$ mamy

${\displaystyle \sum _{n=N}^{k}M_{n}<\varepsilon .}$

Zatem dla dowolnej liczby ${\displaystyle x\in A}$ mamy

${\displaystyle \sum _{n=N}^{k}|f_{n}(x)|<\varepsilon .}$

Oznacza to, że szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}(x)|}$

spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, a w konsekwencji jest on zbieżny jednostajnie. Zatem szereg funkcyjny

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny.

Zobacz też

• kryterium Abela
• kryterium Dirichleta
• zbieżność punktowa
• zbieżność monotoniczna

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 369.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 184–185. ISBN 830232-1049-7.
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 126. ISBN 83-01-02846-7.