Krzywa łańcuchowa

Krzywe łańcuchowe dla różnych wartości parametru ${\displaystyle a}$

Krzywa łańcuchowa, linia łańcuchowa – krzywa płaska, której kształt przyjmuje doskonale nierozciągliwa i nieskończenie wiotka lina o niezerowej, jednostajnie rozłożonej masie^[1] (tj. o jednorodnej gęstości), swobodnie zwisająca pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym^[2][3][4].

Krzywa łańcuchowa jest przeskalowanym wykresem funkcji cosinusa hiperbolicznego^[5]:

${\displaystyle y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right).}$

Wyprowadzenie równania

Siły działające na łuk ${\displaystyle {\widehat {AP}}}$

Linia (krzywa) łańcuchowa jest rozważana w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku obok, symetrycznie względem osi ${\displaystyle OY.}$ Łuk będzie traktowany jak ciało materialne. Zakłada się, że układ jest w stanie równowagi. Łuk ${\displaystyle {\widehat {AP}}}$ podlega działaniom trzech sił ${\displaystyle {\vec {T}},}$ ${\displaystyle {\vec {t}}}$ i ${\displaystyle {\vec {F}},}$ gdzie:

${\displaystyle {\vec {T}}}$ – siła naprężenia łuku w punkcie ${\displaystyle A}$ o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,

${\displaystyle {\vec {t}}}$ – siła naprężenia łuku w punkcie ${\displaystyle P}$ o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,

${\displaystyle {\vec {F}}}$ – ciężar łuku ${\displaystyle {\widehat {AP}}}$ krzywej.

Korzystając z założenia o stanie równowagi, dostaje się:

${\displaystyle {\vec {t}}+{\vec {T}}+{\vec {F}}=0.}$

Wektory ${\displaystyle {\vec {T}},{\vec {F}}}$ są ortogonalne, więc oznaczając przez ${\displaystyle \alpha }$ kąt między wektorami ${\displaystyle {\vec {t}},{\vec {F}}}$ dostaje się

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\tfrac {|{\vec {F}}|}{|{\vec {T}}|}}.}$

Ciężar łuku wynosi

${\displaystyle |{\vec {F}}|=q\,l,}$

gdzie:

${\displaystyle l}$ – długość łuku ${\displaystyle {\widehat {AP}},}$

${\displaystyle q}$ – ciężar jednostki długości.

Stąd

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {q}{|{\vec {T}}|}}l={\frac {dy}{dx}}.}$

Ostatecznie dostaje się równanie różniczkowe:

${\displaystyle l=a{\frac {dy}{dx}},\;\;{}}$ gdzie ${\displaystyle {}\;\;a={\frac {|{\vec {T}}|}{q}}.}$

Różniczkując je względem ${\displaystyle x}$ otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {dl}{dx}}=a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$

i wykorzystując zależność ${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$ dostaje się:

${\displaystyle {\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego z warunkami początkowymi ${\displaystyle y(0)=a,\;{\dot {y}}(0)=0.}$

Podstawiając:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p(x),\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {dp}{dx}},}$

otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu pierwszego:

${\displaystyle {\sqrt {1+p^{2}}}=a{\frac {dp}{dx}}\quad \to \quad {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}={\frac {dx}{a}}.}$

Teraz rozdziela się zmienne i całkuje:

${\displaystyle \int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int \left({\frac {1}{a}}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \operatorname {arsinh} (p)={\frac {x}{a}}+C,}$

${\displaystyle p=\sinh \left({\frac {x}{a}}+C\right).}$

Następnie wraca się do podstawienia:

${\displaystyle p(x)={\frac {dy}{dx}}=\sinh \left({\frac {x}{a}}+C\right),}$

${\displaystyle y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}+C\right)+D.}$

Uwzględniając warunki początkowe otrzymuje się ostatecznie

${\displaystyle y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right),\quad a={\frac {|{\vec {T}}|}{q}}.}$

Zastosowania

Liny wiszące

Krzywa łańcuchowa znajduje zastosowanie przy badaniu wiszących lin (np. przewodów elektrycznych, lin metalowych).

Wiszącą linę charakteryzują pewne stałe: strzałka ${\displaystyle h}$ (zwana też strzałką zwisu bądź zwisem), rozpiętość ${\displaystyle 2b,}$ minimalne zawieszenie ${\displaystyle a}$ i maksymalne zawieszenie ${\displaystyle d.}$ W zastosowaniach przydatne są pewne zależności między tymi stałymi.

• Wiadomo, że długość linii łańcuchowej w przedziale ${\displaystyle [0,b]}$ jest równa:

${\displaystyle l={\sqrt {d^{2}-a^{2}}},}$

skąd otrzymuje się zależność:

${\displaystyle a={\frac {l^{2}-h^{2}}{2h}}.}$

• Zgodnie z równaniem linii łańcuchowej:

${\displaystyle h+a=a\ \cosh \left({\frac {b}{a}}\right),}$

czyli:

${\displaystyle h=a\ \cosh \left({\frac {b}{a}}\right)-a.}$

Po rozwinięciu prawej strony w szereg Maclaurina otrzymuje się:

${\displaystyle h=a\left(1+{\frac {1}{2!}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {1}{4!}}{\frac {b^{4}}{a^{4}}}+{\frac {1}{6!}}{\frac {b^{6}}{a^{6}}}+\cdots \right)-a,}$

${\displaystyle h={\frac {1}{2!}}{\frac {b^{2}}{a}}+{\frac {1}{4!}}{\frac {b^{4}}{a^{3}}}+{\frac {1}{6!}}{\frac {b^{6}}{a^{5}}}+\dots ,}$

co daje przybliżoną zależność:

${\displaystyle a\approx \left({\frac {b^{2}}{2h}}\right).}$

• W niektórych obliczeniach technicznych linię łańcuchową zastępuje się parabolą. Wynika to z rozwinięcia funkcji ${\displaystyle y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$ w szereg Maclaurina:

${\displaystyle y=a\left(1+{\frac {1}{2!}}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {1}{4!}}{\frac {x^{4}}{a^{4}}}+{\frac {1}{6!}}{\frac {x^{6}}{a^{6}}}+\cdots \right).}$

Dla dostatecznie dużej wartości ${\displaystyle a}$ (dla małej wartości ${\displaystyle h}$) daje dobre przybliżenie linii łańcuchowej parabolą:

${\displaystyle y\approx a+{\frac {x^{2}}{2a}}.}$

Łańcuch wiszącego mostu, podtrzymujący pionowymi linami (wantami) nawierzchnię mostu, ma na ogół kształt paraboli.

Stropy

Linię łańcuchową wykorzystuje się przy projektowaniu stropów. Strop zwany arkadą ma kształt opisany równaniem:

${\displaystyle y=c\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right).}$

Historia

Pierwsze z rozważań o krzywej, która przyjmuje kształt lekkiego, zwisającego łańcucha zamocowanego na końcach, pojawiło się w „Dialogach” Galileusza z 1632 roku. Stwierdził on, iż jest to parabola. Nie podał wywodów, jedynie wyraził powszechnie przyjęte przekonanie, które prawdopodobnie wytworzyło się wiek wcześniej, gdy Leonardo da Vinci szkicował w swych pracach zawieszone łańcuchy. Wygląda na to, że wszyscy, łącznie z Kartezjuszem, milcząco przyjmowali to za prawdę. Stwierdzenie takie pojawiło się w znanym i cenionym podręczniku Simona Stevina z 1634 r. i poręczał je w zamieszczonych w książce komentarzach Albert Girard, który twierdził też, że 17 lat wcześniej zdołał tego dowieść, ale nie miał w owym momencie czasu na zamieszczenie dowodu w książce Stevina.

W 1646 roku Marin Mersenne (matematyk zajmujący się między innymi teorią liczb) dostał list od zamożnego rządowego funkcjonariusza z Niderlandów, znanego też ze swych poematów i kompozycji, Constantina Huygensa. W liście ojciec chwali się swoim zdolnym, 17-letnim synem Christiaanem. Zainteresowany Mersenne napisał do młodzika, a ten już w pierwszym liście oznajmił, że wbrew stwierdzeniu Galileusza, wiszący łańcuch nie tworzy paraboli, lecz podobną do niej krzywą. Mersenne poprosił o pokazanie dowodu i zapytał jak przy pomocy dodatkowych obciążeń (czyli zewnętrznych sił) zmienić kształt krzywej, by przemieniła się ona w ową parabolę. Wkrótce otrzymał odpowiedź z dowodem. Chociaż ta wymiana listów wprowadziła Christiana Huygensa do świata europejskiej nauki, jego dowód, geometryczny i skomplikowany, pozostał na uboczu rozważań przez następne 20 lat.

Inne podejścia do problemu, łatwiejsze do zrozumienia, zyskały uznanie, ale ciągle nie było wyjaśnienia jak opisać kształt owej krzywej. Dopiero pod koniec XVII w. trzy osoby nieomal jednocześnie dały tę samą odpowiedź: Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli i 61-letni Christian Huygens. On też został autorem nazwy, catenaria (łac. catena – łańcuch), czyli linia łańcuchowa, którą zaproponował w 1690 r. w liście do Leibniza.

Zobacz też

• geometria analityczna
• rachunek wariacyjny
• traktrysa

Przypisy

Linki zewnętrzne

• portalwiedzy.onet.pl krzywa łańcuchowa
• Wyliczanie krzywej łańcuchowej dla układu mas punktowych połączonych sprężynami lub sztywnymi drążkami. fatcat.ftj.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-10-09)].
• Catenary plot
• the gateway arch is not a parabola
• Hanging With Galileo
• Catenary plot and history