Krzywa Jordana

Krzywa Jordana – homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnie^[1].

Twierdzenia

Który z zaznaczonych punktów należy do wnętrza wielokąta?

Z krzywą Jordana związanych jest kilka twierdzeń.

Twierdzenie o krzywej Jordana

Każda krzywa Jordana rozdziela płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest ich wspólnym brzegiem^[1].

Twierdzenie to było przez długi czas uważane za oczywiste, po raz pierwszy zapisał je jednak Camille Jordan w 1887 roku, dzięki czemu nosi jego imię. Dosyć łatwo je udowodnić dla krzywych gładkich lub odcinkami gładkich, jednak dla krzywych w żadnym punkcie niegładkich jest to zadanie trudne. Pierwszy poprawny dowód twierdzenia Jordana podał w roku 1905 Oswald Veblen.

Twierdzenie Jordana-Schönfliesa

Dla każdej krzywej Jordana istnieje homeomorfizm płaszczyzny na siebie, który przeprowadza tę krzywą na okrąg^[2].

Twierdzenie Jordana-Brouwera

Każda n−1 wymiarowa sfera zanurzona w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej rozdziela tę przestrzeń na dwa rozłączne obszary^[3].

Twierdzenie to nie daje się uogólnić do odpowiednika twierdzenia Jordana-Schönfliesa dla ${\displaystyle n}$ wymiarów – istnieją bryły, których powierzchnia jest homeomorficzna ze sferą, jednak zewnętrze nie jest homeomorficzne z zewnętrzem kuli. Pierwszą odkrytą taką bryłą była rogata sfera Alexandera.

Zobacz też

• łuk zwykły (łuk Jordana)

Przypisy

Bibliografia

• Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Warszawa: WNT, 1981. ISBN 83-204-0239-5.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962.
• Witold Hurewicz, Henry Wallman: Teoria wymiaru (tłum. ros.). Moskwa: ГИИЛ, 1945.

Linki zewnętrzne

• Grant Sanderson, Who cares about topology? (Inscribed rectangle problem), 3blue1brown, YouTube, [dostęp 2021-03-15] – materiał o problemie prostokątów wpisanych w krzywe Jordana.