Krzywa stożkowa

Cztery rodzaje krzywych stożkowych: okrąg, elipsa, parabola, hiperbola

Krzywa stożkowa – zbiór punktów przecięcia płaszczyzny i powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg^[1]. Krzywe stożkowe są krzywymi drugiego stopnia, tzn. można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y.}$

Stożkowe są niezmiennikami przekształcenia rzutowego i stąd grają pewną rolę w geometrii rzutowej. Typ stożkowej może się przy tym zmieniać, stożkowe można w tym sensie uznać za rzuty okręgu na płaszczyznę.

Rys historyczny

Za twórcę teorii krzywych stożkowych uważa się Menaichmosa, zaś znane pojęcia elipsa, parabola i hiperbola wprowadził Apoloniusz z Pergi. Krzywe stożkowe, których zastosowania nie widziano, stały się niezwykle ważne dopiero w XVII wieku w związku z odkryciami Jana Keplera, który udowodnił, iż planety krążą po torach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk (I prawo Keplera). Nowe ujęcie teorii krzywych stożkowych stworzył Jean-Victor Poncelet w XIX wieku.

Rodzaje krzywych stożkowych

Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i kąta tworzącej stożka:

• W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa.
  • Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka.
• Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.
  • W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą (parabola zdegenerowana).
• Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana stożkowa jest hiperbolą.
  • Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych, będącą zdegenerowanym przypadkiem hiperboli.

Równanie

Okrąg ${\displaystyle (e=0),}$ elipsa ${\displaystyle (e=0{,}5),}$ parabola ${\displaystyle (e=1)}$ i hiperbola ${\displaystyle (e=2).}$ Dla ${\displaystyle e=\infty }$ uzyskuje się prostą, odpowiadającą kierownicy każdej z tych krzywych stożkowych.

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem we współrzędnych biegunowych:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \varphi }},}$

gdzie:

${\displaystyle r,\varphi }$ – współrzędne punktu;

${\displaystyle e}$ – mimośród krzywej, decydujący o jej kształcie:

• ${\displaystyle e=0}$ – okrąg, szczególny przypadek elipsy;
• ${\displaystyle 0\leqslant e<1}$ – elipsa;
• ${\displaystyle e=1}$ – parabola;
• ${\displaystyle e>1}$ – hiperbola.

${\displaystyle p}$ – parametr, decydujący o kącie pomiędzy tworzącą a osią stożka.

Parametr ${\displaystyle p}$ krzywej stożkowej jest równy połowie długości cięciwy przechodzącej przez ognisko krzywej i równoległej do jej kierownicy. Nosi on łacińską nazwę semilatus rectum^[2].

Zobacz też

• lista krzywych

Przypisy