Krzywizna Gaussa

Trzy powierzchnie o różnej krzywiźnie Gaussa – od lewej do prawej: hiperboloida (ujemna krzywizna Gaussa), walec (zerowa krzywizna Gaussa) oraz sfera (dodatnia krzywizna Gaussa).

Krzywizna Gaussa jest miarą zakrzywienia powierzchni ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$ w punkcie ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}.}$

Definicja

Krzywizną Gaussa powierzchni ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$ w punkcie ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$ nazywamy liczbę ${\displaystyle \mathrm {K} }$ równą ${\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2},}$ gdzie ${\displaystyle \kappa _{i}}$ są krzywiznami głównymi rozważanej powierzchni ${\displaystyle M}$ w punkcie ${\displaystyle x.}$

Krzywizna Gaussa może być wyliczona jako iloraz wyznaczników pierwszej i drugiej formy podstawowej powierzchni: ${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\det(II)}{\det(I)}}.}$

Może być również wyliczona za pomocą symboli Christoffela:

${\displaystyle \mathrm {K} =-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}$

Twierdzenia

• Theorema egregium: Krzywizna Gaussa jest niezmiennikiem lokalnych izometrii.
• Twierdzenie Gaussa-Bonneta: Całkowita krzywizna Gaussa ${\displaystyle \int _{M}\mathrm {K} dS}$ zwartej powierzchni bez brzegu jest równa charakterystyce Eulera powierzchni pomnożonej przez ${\displaystyle 2\pi .}$