Kumulanta

Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki.

Kumulantami rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność:

gdzie jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy, jest -tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty.

Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie.

Niektóre własności kumulant

Niezmienniczość

Zachodzą następujące własności:

  • dla

gdzie jest stałą.

Oznacza to, że stałą dodajemy tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione.

Jednorodność

Kumulanty są jednorodne stopnia n, to znaczy:

Addytywność

Jeśli i niezależnymi zmiennymi losowymi, zachodzi:

Kumulanty i momenty

Kumulanty są powiązane z momentami następującą zależnością:

-ty moment zwykły jest wielomianem -tego stopnia w pierwszych kumulantach, zatem:

Aby uzyskać wzory na zależność kumulant od momentów centralnych, należy we wszystkich wzorach opuścić składniki, gdzie występuje jako czynnik.

Kumulanty i podział zbioru

Kumulanty mają ciekawą interpretację kombinatoryczną: współczynniki definiują określone podziały zbioru. Ogólna postać tych wielomianów to:

gdzie:

  • przebiega przez wszystkie podziały zbioru -elementowego,
  • ” jest jednym z bloków, na które zbiór jest podzielony,
  • jest liczebnością zbioru

Każdy jednomian to stała pomnożona przez iloczyn kumulant, w których suma indeksów wynosi (np. dla suma indeksów wynosi 3 + 2 + 2 + 1 = 8, pojawia się ona w wielomianie, który wyraża ósmą kumulantę za pomocą ośmiu pierwszych kumulant). Podziałowi liczby całkowitej odpowiadają poszczególne składniki. Współczynniki w każdym składniku to liczba podziałów -elementowego zbioru, które łączą się w podziały kiedy elementy zbioru stają się nierozróżnialne.

Kumulanty niektórych rozkładów prawdopodobieństwa

  • Kumulanty rozkładu normalnego o średniej i odchyleniu standardowym wynoszą i dla
  • Rozkład z danymi kumulantami może być przybliżony ciągiem Grama-Charliera lub ciągiem Edgewortha.

Zobacz też