Kwadrat

Kwadrat

Rodzaj	wielokąt foremny
Liczba boków	4
Liczba przekątnych	2
Symbol Schläfliego	{4}
Grupa symetrii	diedralna (D4), 2×4
Pole powierzchni	${\displaystyle a^{2}}$
Obwód	${\displaystyle 4a}$
Kąt wewnętrzny	90°
Własności	wypukły, równoboczny, równokątny

Kwadrat (łac. quadratum „czworobok, kwadrat”) – wielokąt foremny o czterech bokach (czworokąt foremny), czyli czworobok o czterech przystających bokach (a stąd równej długości) i tyluż przystających kątach wewnętrznych (a stąd prostych)^[1]. Można go również scharakteryzować jako prostokąt o przystających bokach (bądź równej długości, bądź też prostokąt równoboczny), romb o przystających (bądź prostych) kątach wewnętrznych, deltoid o równych bokach i wszystkich kątach prostych, trapez prostokątny o wszystkich bokach takiej samej długości. Dowolne dwa kwadraty są podobne.

Kwadraty są ścianami sześcianu (foremnego) oraz niektórych wielościanów półforemnych, m.in. ośmiościanu ściętego.

Tworzy siatkę sześcianu.

Własności

Metoda kreślenia za pomocą cyrkla i liniału.

Z własności

• czworokątów:
  • suma miar wszystkich kątów wewnętrznych wynosi 2π (360°);
• równoległoboków:
  • przeciwległe boki są równoległe,
  • przekątne przecinają się w połowie,
  • punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii;
• prostokątów:
  • wszystkie kąty wewnętrzne są przystające (a stąd proste),
  • przekątne są przystające (a stąd mają równą długość);
• rombów:
  • przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych,
  • przekątne są prostopadłe;

Dodatkowo następujące własności są charakterystyczne dla kwadratów:

• ma cztery osie symetrii: dwie z nich to proste zawierające przekątne (jak w rombie), pozostałe dwie to symetralne boków (jak w prostokącie).
• osie symetrii dzielą go na osiem przystających trójkątów prostokątnych równoramiennych.

Wzory

• kolor czarny – brzeg kwadratu;
• kolor niebieski – okrąg opisany;
• kolor brązowy – okrąg wpisany.

Niech ${\displaystyle a}$ oznacza długość boku pewnego kwadratu, a ${\displaystyle d}$ będzie równe długości jego przekątnej. Prawdziwe są następujące wzory na:

• pole powierzchni,

  ${\displaystyle S=a^{2}={\tfrac {d^{2}}{2}}={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}ad,}$

• obwód,

  ${\displaystyle l=4a,}$

• promień okręgu wpisanego,

  ${\displaystyle r={\tfrac {a}{2}},}$

• promień okręgu opisanego,

  ${\displaystyle R={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}a=r{\sqrt {2}}={\tfrac {d}{2}},}$

• długość boku,

  ${\displaystyle a=2r=R{\sqrt {2}}={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}d,}$

• długość przekątnej,

  ${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}.}$

Zobacz też

• kwadrat logiczny
• kwadraty: łaciński, grecko-łaciński (grecki lub Eulera),
• kwadrat magiczny
• kwadratura figury geometrycznej

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Square, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).