Lemat Auerbacha

Lemat Auerbacha – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że w każdej skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X}$ istnieje taka baza ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\},}$ że

${\displaystyle \|e_{1}\|=\ldots =\|e_{n}\|=\|e_{1}^{*}\|=\ldots =\|e_{n}^{*}\|=1,}$

gdzie symbolami ${\displaystyle e_{1}^{*},\dots ,e_{n}^{*}}$ oznaczone są elementy (funkcjonały) bazy sprzężonej do wyjściowej bazy ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}.}$ Bazy o tej własności nazywane są bazami Auerbacha.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Auerbacha, polskiego matematyka, który udowodnił najpierw przypadek dwuwymiarowy w swojej rozprawie doktorskiej napisanej we Lwowie^[1], a następnie w przypadku ogólnym^[2] (dowód Auerbacha przypadku ogólnego nie zachował się). Alternatywne dowody podali M.M. Day^[3] i A.E. Taylor^[4]. Pojęcie układu Auerbacha uogólnia bazy o powyższej własności na przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

Dowód Taylora

Niech ${\displaystyle X}$ będzie ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzenią unormowaną. Dla danego układu biortogonalnego ${\displaystyle (y_{j},y_{j}^{*})_{1\leqslant j\leqslant n}}$ rozważmy funkcję

${\displaystyle V(z_{1},\dots ,z_{n})=\det[\langle z_{i},y_{j}^{*}\rangle ]_{i,j=1,\dots ,n}\quad (\|z_{1}\|,\dots ,\|z_{n}\|\leqslant 1).}$

Funkcja ${\displaystyle V}$ jest ciągła. Ponieważ przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, zwartość zbioru

${\displaystyle B_{n}=\{(z_{1},\dots ,z_{n})\in X^{n}\colon \|z_{1}\|,\dots ,\|z_{n}\|\leqslant 1\}.}$

Ze zwartości ${\displaystyle B_{n}}$ oraz ciągłości funkcji ${\displaystyle V}$ wynika istnienie takiego punktu ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in B_{n},}$ że

${\displaystyle V(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{V(z_{1},\dots ,z_{n})\colon (z_{1},\dots ,z_{n})\in B_{n}\}.}$

W szczególności,

${\displaystyle \|x_{1}\|=\ldots =\|x_{n}\|=1.}$

Dla każdego ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$ definiujemy funkcjonał ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ wzorem

${\displaystyle \langle x,x_{i}^{*}\rangle ={\frac {V(x_{1},\dots ,x_{i-1},x,x_{i+1},\dots ,x_{n})}{V(x_{1},\dots ,x_{n})}}\quad (x\in X).}$

Z ${\displaystyle n}$-liniowości wyznacznika wynika, że ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ jest funkcjonałem liniowym, ponadto ${\displaystyle (x_{j},x_{j}^{*})_{1\leqslant j\leqslant n}}$ jest układem biortogonalnym. Pozostaje zauważyć, że

${\displaystyle \|x_{1}^{*}\|=\ldots =\|x_{n}^{*}\|=1.}$

Zastosowanie do konstrukcji rzutów na skończenie wymiarowe podprzestrzenie

Lematu Auerbacha używa się by wykazać następujące twierdzenie:

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią unormowaną oraz niech ${\displaystyle F}$ będzie jej ${\displaystyle n}$-wymiarową podprzestrzenią liniową. Wówczas istnieje rzut (liniowy operator idempotentny) ${\displaystyle P\colon X\to E}$ o normie co najwyżej ${\displaystyle n.}$

Dowód. Istotnie, niech ${\displaystyle \{f_{1},\dots ,f_{n}\}}$ będzie bazą przestrzeni ${\displaystyle F}$ o tej własności, że

${\displaystyle \|f_{1}\|=\ldots =\|f_{n}\|=\|f_{1}^{*}\|=\ldots =\|f_{n}^{*}\|=1,}$

gdzie ${\displaystyle \{f_{1}^{*},\dots ,f_{n}^{*}\}}$ oznaczają współczynniki stowarzyszone z wektorami bazowymi. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że każdy z funkcjonałów ${\displaystyle f_{i}^{*}}$ daje się przedłużyć do pewnego funkcjonału ${\displaystyle \varphi _{i}^{*}\in X^{*}}$ o normie 1. Niech

${\displaystyle Px=\sum _{i=1}^{n}\langle x,\varphi _{i}\rangle f_{i}\quad (x\in X).}$

Wówczas ${\displaystyle P}$ jest operatorem liniowym na ${\displaystyle X,}$ którego obraz zawiera się w ${\displaystyle F.}$ Ponadto, ${\displaystyle Px=x}$ dla każdego ${\displaystyle x\in F.}$ Norma ${\displaystyle P}$ nie przekracza ${\displaystyle n}$ ponieważ ${\displaystyle P}$ jest sumą ${\displaystyle n}$ operatorów o normie 1. Rzeczywiście,

${\displaystyle \|\langle x,\varphi _{i}\rangle f_{i}\|\leqslant \|x\|\ \|\varphi _{i}\|\ \|f_{i}\|=\|x\|,}$

co kończy dowód.

Przypisy

Bibliografia

• Joseph Diestel, Hans Jarchow, Andrew Tonge, Absolutely Summing Operators, s. 146.
• JoramJ. Lindenstrauss JoramJ., LiorL. Tzafriri LiorL., Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Berlin [etc.]: Springer, 1996, s. 16, ISBN 3-540-60628-9, OCLC 835840252 .
• ReinholdR. Meise ReinholdR., Einführung in die Funktionalanalysis, DietmarD. Vogt, Braunschweig: Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, OCLC 27775675 .
• Przemysław Wojtaszczyk, Banach spaces for analysts. Cambridge Studies in Advancod Mathematics, Cambridge University Press, vol. 25, 1991, s. 75.