Lemat Fatou

Lemat Fatoulemat noszący nazwisko Pierre’a Fatou, który daje ograniczenie górne na wartość całki Lebesgue’a funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Lemat Fatou jest jednym z trzech, obok twierdzeń o zbieżności monotonicznej i ograniczonej (oba autorstwa Henriego Lebesgue’a), podstawowych twierdzeń granicznych analizy i teorii miary. Wykorzystywany jest w niektórych dowodach twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej oraz zupełności przestrzeni oraz w teorii prawdopodobieństwa przy wyznaczaniu wartości oczekiwanych pewnych zmiennych losowych.

Lemat

Niech będą funkcjami -mierzalnymi określonymi na wspólnej przestrzeni z miarą dla Wówczas

Uwaga

Jeśli funkcje są sumowalne (całkowalne) i prawa strona nierówności jest skończona, to sumowalna (całkowalna) jest również funkcja podcałkowa po lewej stronie nierówności.

Dowód

Pierre Fatou (1878-1929)

Niech oznacza nieujemną funkcję prostą mniejszą lub równą Niech ponadto zbiory -mierzalne będą rozłączne oraz dla

Niech będzie ustalone. Wówczas

gdzie:

Ponieważ

zatem

stąd zaś

Nierówność ta obowiązuje dla każdego a każda funkcja prosta jest mniejsza lub równa Dlatego

gdzie oznacza całkę dolną[a].

Zobacz też

Uwagi

  1. Całka dolna funkcji definiowana jest jako
    Podobnie definiuje się całkę górną
    Gdy całki górna i dolna funkcji -mierzalnej są równe, to funkcję nazywa się -całkowalną i definiuje jej całkę jako
    (w tym ujęciu funkcja może mieć zatem całkę równą lub nieujemna funkcja -mierzalna jest zawsze -całkowalna).

Media użyte na tej stronie

Fatou.jpeg
Le mathématicien et astronome français Pierre Fatou (1878-1929).