Lemat Fatou

Lemat Fatou – lemat noszący nazwisko Pierre’a Fatou, który daje ograniczenie górne na wartość całki Lebesgue’a funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Lemat Fatou jest jednym z trzech, obok twierdzeń o zbieżności monotonicznej i ograniczonej (oba autorstwa Henriego Lebesgue’a), podstawowych twierdzeń granicznych analizy i teorii miary. Wykorzystywany jest w niektórych dowodach twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej oraz zupełności przestrzeni ${\displaystyle L^{p}}$ oraz w teorii prawdopodobieństwa przy wyznaczaniu wartości oczekiwanych pewnych zmiennych losowych.

Lemat

Niech ${\displaystyle f_{k}\colon X\to [0,+\infty ]}$ będą funkcjami ${\displaystyle \mu }$-mierzalnymi określonymi na wspólnej przestrzeni z miarą ${\displaystyle (X,\mu )}$ dla ${\displaystyle k=1,\dots .}$ Wówczas

${\displaystyle \int \liminf _{k\to \infty }f_{k}\operatorname {d} \!\mu \leqslant \liminf _{k\to \infty }\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu .}$

Uwaga

Jeśli funkcje ${\displaystyle f_{k}}$ są sumowalne (całkowalne) i prawa strona nierówności jest skończona, to sumowalna (całkowalna) jest również funkcja podcałkowa po lewej stronie nierówności.

Dowód

Pierre Fatou (1878-1929)

Niech ${\displaystyle g:=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\chi _{A_{j}}}$ oznacza nieujemną funkcję prostą mniejszą lub równą ${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }f_{k}.}$ Niech ponadto zbiory ${\displaystyle \mu }$-mierzalne ${\displaystyle \{A_{j}\}_{j=1}^{\infty }}$ będą rozłączne oraz ${\displaystyle a_{j}>0}$ dla ${\displaystyle j=1,\dots .}$

Niech ${\displaystyle 0<t<1}$ będzie ustalone. Wówczas

${\displaystyle A_{j}=\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{j,k},}$

gdzie:

${\displaystyle B_{j,k}:=A_{j}\cap \left\{x\in X\colon f_{l}(x)>ta_{j}\ \ {\text{dla wszystkich}}\ \ l\geqslant k\right\}.}$

Ponieważ

${\displaystyle A_{j}\supseteq B_{j,k+1}\supseteq B_{j,k}\qquad (k=1,\dots ),}$

zatem

${\displaystyle \int f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant \sum _{j=1}^{\infty }\int _{A_{j}}f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant \sum _{j=1}^{\infty }\int _{B_{j,k}}f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant t\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\mu \left(B_{j,k}\right);}$

stąd zaś

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant t\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\mu (A_{j})=t\int g\operatorname {d} \!\mu .}$

Nierówność ta obowiązuje dla każdego ${\displaystyle 0<t<1,}$ a każda funkcja prosta ${\displaystyle g}$ jest mniejsza lub równa ${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }f_{k}.}$ Dlatego

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }\int f_{k}\operatorname {d} \!\mu \geqslant \int _{*}\liminf _{k\to \infty }f_{k}\operatorname {d} \!\mu =\int \liminf _{k\to \infty }f_{k}\operatorname {d} \!\mu ,}$

gdzie ${\displaystyle \int _{*}}$ oznacza całkę dolną^[a].

Zobacz też

• twierdzenie Lebesgue’a-Fatou
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• twierdzenie Fubiniego

Uwagi