Lematy Borela-Cantellego

Lematy Borela-Cantellego^[1] – lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych, wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb.

Niech ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...}$ będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P).}$

Pierwszy lemat Borela-Cantellego

Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...}$ jest zbieżny, tj.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})<+\infty ,}$

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...}$ wynosi 0, tj.

${\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=0.}$

Dowód

• Niech ${\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n},\ B_{n}:=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k},\ B_{n+1}\subseteq B_{n}.}$
• Korzystając z własności miary:

${\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n}).}$

• Również z własności miary otrzymujemy nierówność:

${\displaystyle P(B_{n})=P\left(\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)\leqslant \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})\ \ (\star ).}$

• Niech ${\displaystyle S:=\sum \limits _{k=1}^{\infty }P(A_{k}),\ S_{n-1}:=\sum \limits _{k=1}^{n-1}P(A_{k}).}$ Z założenia ${\displaystyle S<\infty ,}$ więc szereg jest zbieżny.
• Zauważmy, że: ${\displaystyle \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})=S-S_{n-1}.}$
• ${\displaystyle \left(S_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}S\right)\Rightarrow \left(S-S_{n-1}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right)\Rightarrow \left(\sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right).}$
• Korzystając z ${\displaystyle (\star ),P(B_{n})\geqslant 0}$ oraz twierdzenia o trzech ciągach:

${\displaystyle \left(0\leqslant P(B_{n})\leqslant \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})\right)\Rightarrow \left(P(B_{n}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right).}$

• Kończy to dowód, bo: ${\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n})=0.}$

Drugi lemat Borela-Cantellego

Jeśli zdarzenia ${\displaystyle A_{i}}$ są niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})=+\infty ,}$

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...}$ wynosi 1, tj.

${\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=1.}$

Dowód

• Niech ${\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n},\ B_{n}:=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k},\ B_{n+1}\subseteq B_{n}.}$
• Korzystając z własności miary:

${\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n}).}$

• Zapiszmy ${\displaystyle B_{n}}$ w postaci: ${\displaystyle B_{n}=\bigcup _{m=n}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}.}$
• Niech ${\displaystyle C_{m,n}:=\bigcup _{k=n}^{m}A_{k},\ C_{m,n}\subseteq C_{m+1,n}.}$
• Korzystając ponownie z własności miary:

${\displaystyle P(B_{n})=\lim _{m\to \infty }P\left(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}\right).}$

• Zauważmy, że ${\displaystyle \bigcup _{k=n}^{m}A_{k}=\Omega -\bigcap _{k=n}^{m}A_{k}^{'},}$ gdzie ${\displaystyle A_{k}^{'}=\Omega -A_{k}}$
• ${\displaystyle P\left(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}\right)=1-P\left(\bigcap _{k=n}^{m}A_{k}^{'}\right)=1-\prod \limits _{k=n}^{m}P(A_{k}^{'})=1-\prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})).}$

Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że ${\displaystyle \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}$

• Zauważmy: ${\displaystyle x\geqslant 0\Rightarrow \exp[-x]\geqslant 1-x\ (\star )}$
• ${\displaystyle 0\leqslant \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k}))\leqslant ^{(\star )}\prod \limits _{k=n}^{m}\exp[-P(A_{k})]=\exp \left[-\sum \limits _{k=n}^{m}P(A_{k})\right]{\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}$
• Więc z twierdzenia o trzech ciągach: ${\displaystyle \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}$
• I ostatecznie ${\displaystyle \left(P(B_{n})=\lim _{m\to \infty }P(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k})=1\right)\Rightarrow \left(P(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k})=P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n})=1\right).}$

Wniosek

• Jeżeli zdarzenia ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$ są niezależne to dla zdarzenia ${\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}}$ zachodzi warunek:

${\displaystyle P(A)=0\ {\text{ lub }}\ P(A)=1.}$

Przykład

Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech ${\displaystyle A_{k}}$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że ${\displaystyle k}$-ty, ${\displaystyle k+1}$ i ${\displaystyle k+2}$ rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n},...}$ nie są niezależne, ale zdarzenia ${\displaystyle A_{1},A_{4},A_{7},...A_{3n+1},...}$ są.

Każde zdarzenie ${\displaystyle A_{k}}$ ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.

Zobacz też

• prawo iterowanego logarytmu
• proces Bernoulliego

Przypisy

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.