Lemniskata Bernoulliego

Lemniskata Bernoulliego
F₁, F₂ – ogniska o współrzędnych ${\displaystyle (-a,0)}$ i ${\displaystyle (a,0)}$

Lemniskata Bernoulliego – krzywa płaska będąca zbiorem punktów, dla których iloczyn odległości od dwóch ustalonych punktów (ognisk lemniskaty) oddalonych o ${\displaystyle 2a}$ jest stały i równy ${\displaystyle a^{2}.}$ Lemniskata Bernoulliego jest szczególnym przypadkiem owalu Cassiniego^[1].

Została ona opisana przez Jakoba Bernoulliego w 1694 roku^[1], w czasopiśmie naukowym „Acta Eruditorum”.

Równania lemniskaty:

• we współrzędnych kartezjańskich^[1]:

  ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2}),}$

• we współrzędnych biegunowych^[1]:

  ${\displaystyle r^{2}=2a^{2}\cos 2\varphi ,}$

• równanie parametryczne:

  ${\displaystyle x={\frac {a{\sqrt {2}}\cos t}{1+\sin ^{2}t}},\quad y={\frac {a{\sqrt {2}}\sin t\cos t}{1+\sin ^{2}t}},}$    gdzie ${\displaystyle t\in [0,2\pi ).}$

Pole powierzchni obu obszarów ograniczonych krzywą wynosi ${\displaystyle 2a^{2}}$.

Przypisy

Zobacz też

• lemniskata Bootha
• lista krzywych