Liczba Bella

Liczba Bella dla liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ (oznaczenie: ${\displaystyle B_{n}}$) to liczba podziałów zbioru ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}.}$

• ${\displaystyle B_{0}=1,}$ bo zbiór pusty ${\displaystyle \{\}}$ ma jedyny podział: ${\displaystyle \{\}.}$
• ${\displaystyle B_{1}=1,}$ bo zbiór ${\displaystyle \{1\}}$ ma jedyny podział: ${\displaystyle \{\{1\}\}.}$
• ${\displaystyle B_{2}=2,}$ bo zbiór ${\displaystyle \{1,2\}}$ ma dwa podziały: ${\displaystyle \{\{1,2\}\}}$ i ${\displaystyle \{\{1\},\{2\}\}.}$
• ${\displaystyle B_{3}=5,}$ bo zbiór ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ma ${\displaystyle 5}$ podziałów:
  1. ${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$
  2. ${\displaystyle \{\{1\},\{2,3\}\}}$
  3. ${\displaystyle \{\{2\},\{1,3\}\}}$
  4. ${\displaystyle \{\{3\},\{1,2\}\}}$
  5. ${\displaystyle \{\{1\},\{2\},\{3\}\}}$
• ${\displaystyle B_{4}=15,}$ ${\displaystyle B_{5}=52,\dots }$

Liczby Bella spełniają następujący wzór rekurencyjny:

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}B_{k}},n\in \mathbb {N} .}$

Oraz „wzór Dobińskiego”:

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.}$