Liczba Liouville’a

Liczba Liouville’a – liczba rzeczywista ${\displaystyle x}$ o takiej własności, że dla dowolnej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ istnieją liczby całkowite ${\displaystyle p}$ oraz ${\displaystyle q>1,}$ takie że:

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.}$

Intuicyjnie oznacza to, że dowolną liczbę Liouville’a można „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Liczby Liouville’a noszą swą nazwę na cześć Josepha Liouville’a, który wprowadził je w roku 1844 i pokazał, że są one liczbami przestępnymi. Był to pierwszy dowód istnienia liczb przestępnych, co więcej konstruktywny, czyli podający algorytm ich uzyskiwania.

Przykłady. Stała Liouville’a

Liczby postaci

${\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }a^{-j!},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, są liczbami Liouville’a. Dla dowodu określmy ${\displaystyle p_{n}}$ i ${\displaystyle q_{n}}$ następująco:

${\displaystyle p_{n}=\sum _{j=1}^{n}a^{(n!-j!)},\quad q_{n}=a^{n!}.}$

Wówczas dla wszystkich ${\displaystyle n}$ naturalnych

${\displaystyle |c-p_{n}/q_{n}|=\sum _{j=n+1}^{\infty }a^{-j!}=a^{-(n+1)!}+a^{-(n+2)!}+\cdots <a^{-(n!n)}=\left(1/{q_{n}}\right)^{n},}$

co spełnia warunki definicji.

Liczba

${\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0{,}110001000000000000000001000\ldots }$

nosi nazwę stałej Liouville’a.

Podstawowe własności

Równoważną definicję liczby Liouville’a otrzymamy przyjmując, że dla dowolnego ${\displaystyle n}$ istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych ${\displaystyle (p,q),}$ dla których spełniona jest powyższa nierówność.

Niewymierność liczb Liouville’a

Nietrudno wykazać, że jeśli ${\displaystyle x}$ jest liczbą Liouville’a, to jest liczbą niewymierną. Gdyby tak nie było, istniałyby liczby całkowite ${\displaystyle c}$ i ${\displaystyle d,}$ dla których mielibyśmy ${\displaystyle x=c/d.}$ Niech ${\displaystyle n}$ oznacza taką liczbę naturalną, że ${\displaystyle 2^{n-1}>d.}$ Wówczas, jeśli ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ są dowolnymi liczbami całkowitymi, takimi że ${\displaystyle q>1}$ i ${\displaystyle p/q\neq c/d,}$ to

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}\cdot q}}\geqslant {\frac {1}{q^{n}}},}$

co jest sprzeczne z określeniem liczby Liouville’a.

Własności miarowe zbióru liczb Liouville’a

Wykażemy, że zbiór ${\displaystyle L}$ liczb Liouville’a jest miary zero Lebesgue’a. Dowód przedstawiony poniżej jest oparty na rozumowaniu, które podał Oxtoby^[1]. Dla liczb naturalnych ${\displaystyle n>2}$ oraz ${\displaystyle q\geqslant 2}$ połóżmy:

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

Zauważmy, że dla każdych liczb naturalnych ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle m}$ mamy

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

Oczywiście, ${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}.}$ Pamiętając że ${\displaystyle n>2,}$ można również wykazać, że

${\displaystyle \sum \limits _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\leqslant (4m+1)\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leqslant {\frac {4m+1}{n-2}}.}$

Ponieważ ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0,}$ to teraz łatwo wnioskujemy, że dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle m}$ przekrój ${\displaystyle L\cap (-m,m)}$ jest miary Lebesgue’a zero, a zatem i ${\displaystyle L}$ jest miary zero. Czyli z miarowego punktu widzenia, prawie żadna liczba rzeczywista nie jest liczbą Liouville’a.

Własności topologiczne zbioru liczb Liouville’a

Dla liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ połóżmy:

${\displaystyle U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

Każdy ze zbiorów ${\displaystyle U_{n}}$ jest otwartym gęstym podzbiorem prostej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (zauważmy, że ${\displaystyle U_{n}}$ zawiera wszystkie liczby wymierne). Ponadto ${\displaystyle L=\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}\setminus {\mathbb {Q} },}$ zatem ${\displaystyle L}$ jest gęstym zbiorem typu G_δ, a stąd jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii. Czyli, z topologicznego punktu widzenia, prawie każda liczba rzeczywista jest liczbą Liouville’a.

Stopień niewymierności

Istnieje prosta metoda pozwalająca zmierzyć „jak bardzo” niewymierna jest dana liczba. Polega ona na badanie dokładności aproksymacji liczby ${\displaystyle x}$ za pomocą liczb wymiernych.

Stopniem niewymierności nazywamy kres górny zbioru liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mu }$ o tej własności, że nierówność

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$

zachodzi dla nieskończenie wielu par ${\displaystyle (p,q),}$ gdzie ${\displaystyle q>0.}$

Wszystkie liczby Liouville’a i tylko one mają nieskończony stopień niewymierności.

Liczby Liouville’a jako liczby przestępne

Poniżej wykażemy, że każda liczba Liouville’a jest przestępna. Jednak nie każda liczba przestępna jest liczbą Liouville’a – ponieważ zbiór liczb Liouville’a jest zbiorem miary zero Lebesgue’a, to istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych, które nie są liczbami Liouville’a. Okazuje się, że liczbami Liouville’a nie są również liczby e oraz π.

Punktem kluczowym dowodu jest obserwacja, że liczba algebraiczna, która jest niewymierna, nie daje się w pewnym sensie „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Poniższy lemat należący do Liouville’a nazywany jest również często twierdzeniem Liouville’a o aproksymacji diofantycznej.

Lemat: Jeśli ${\displaystyle \alpha }$ jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu ${\displaystyle f}$ stopnia ${\displaystyle n>0}$ o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista ${\displaystyle A>0}$ taka, że dla dowolnych liczb całkowitych ${\displaystyle p}$ oraz ${\displaystyle q>0}$ zachodzi ${\displaystyle |\alpha -p/q|>A/q^{n}.}$

Dowód lematu: Niech ${\displaystyle M}$ oznacza największą wartość modułu pochodnej ${\displaystyle |f'(x)|}$ wielomianu ${\displaystyle f}$ w przedziale ${\displaystyle [\alpha -1,\alpha +1].}$ Niech ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m}}$ będą różnymi pierwiastkami wielomianu ${\displaystyle f,}$ które są różne od α. Wybierzmy taką liczbę ${\displaystyle A>0,}$ która spełnia warunek:

${\displaystyle A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\dots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right).}$

Przypuśćmy, że istnieją takie liczby całkowite ${\displaystyle p,q,}$ dla których nierówność podana w tezie lematu nie zachodzi. Oznacza to, że

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leqslant {\frac {A}{q^{n}}}\leqslant A<\min(1,|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\dots ,|\alpha -\alpha _{m}|).}$

Wówczas ${\displaystyle p/q}$ leży w przedziale ${\displaystyle [\alpha -1,\alpha +1]}$ oraz ${\displaystyle p/q}$ nie jest żadną z liczb ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m}\}.}$ Zatem ${\displaystyle p/q}$ nie jest też pierwiastkiem ${\displaystyle f,}$ a ponadto żaden pierwiastek ${\displaystyle f}$ nie leży pomiędzy ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle p/q.}$

Na mocy twierdzenia o wartości średniej pomiędzy ${\displaystyle p/q}$ i ${\displaystyle \alpha }$ istnieje taka liczba ${\displaystyle x_{0},}$ że

${\displaystyle f(\alpha )-f\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(\alpha -{\frac {p}{q}}\right)\cdot f'(x_{0}).}$

Ponieważ ${\displaystyle \alpha }$ jest pierwiastkiem ${\displaystyle f,}$ a ${\displaystyle p/q}$ nie, zatem ${\displaystyle |f'(x_{0})|>0}$ i:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f(\alpha )-f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}{|f'(x_{0})|}}={\frac {\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}{|f'(x_{0})|}}.}$

Ponieważ ${\displaystyle f}$ jest postaci ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}\cdot x^{i},}$ gdzie każde ${\displaystyle c_{i}}$ jest całkowite, ${\displaystyle |f(p/q)|}$ można zapisać jako

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}\left({\frac {p}{q}}\right)^{i}\right|={\frac {\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right|}{q^{n}}}\geqslant {\frac {1}{q^{n}}}.}$

Ostatnia nierówność zachodzi, gdyż ${\displaystyle p/q}$ nie jest pierwiastkiem wielomianu ${\displaystyle f,}$ a ${\displaystyle c_{i}}$ są liczbami całkowitymi.

Zatem ${\displaystyle |f(p/q)|\geqslant 1/q^{n},}$ a skoro ${\displaystyle |f'(x_{0})|\leqslant M}$ na mocy określenia liczby ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle 1/M>A}$ z definicji ${\displaystyle A,}$ otrzymujemy stąd sprzeczność:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}{|f'(x_{0})|}}\geqslant {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geqslant \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

Wynika stąd, że nie istnieją liczby ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ o takich własnościach, co dowodzi lematu.

Dowód stwierdzenia: Niech ${\displaystyle x}$ będzie liczbą Liouville’a, wiemy już, że ${\displaystyle x}$ jest liczbą niewymierną. Gdyby ${\displaystyle x}$ była liczbą algebraiczną, na mocy lematu istniałyby liczby naturalna ${\displaystyle n}$ i rzeczywista dodatnia ${\displaystyle A,}$ takie że dla dowolnych całkowitych ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q{:}}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}.}$

Niech ${\displaystyle r}$ będzie taką liczbą naturalną, że ${\displaystyle 1/(2^{r})\leqslant A.}$ Jeśli położyć ${\displaystyle m=r+n,}$ to – ponieważ ${\displaystyle x}$ jest liczbą Liouville’a – znajdziemy liczby całkowite ${\displaystyle a,b>1}$ i takie, że

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leqslant {\frac {1}{2^{r}b^{n}}}\leqslant {\frac {A}{b^{n}}},}$

co stoi w sprzeczności z lematem. Stąd ${\displaystyle x}$ nie jest algebraiczna, a zatem jest przestępna.

Zobacz też

• liczby algebraiczne
• liczby przestępne
• ułamek łańcuchowy
• zbiór miary zero
• zbiór pierwszej kategorii

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Początki liczb przestępnych (ang.)
• WojciechW. Czerwiński WojciechW., O przybliżaniu ułamkami, [w:] pismo „Delta” [online], deltami.edu.pl, marzec 2021, ISSN 0137-3005 [dostęp 2021-09-29]  (pol.).